Question

18．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，试求点D的坐标．

Answer 1

分析 由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE中，设CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，求出DF与EF的长，即可确定出D坐标．

解答 解：∵矩形ABCO中，OA=8，OC=4，
∴BC=OA=8，AB=OC=4，
由折叠得到OD=OA=BC，∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°，
在Rt△CBO和Rt△DOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=DO}\\{OB=BO}\end{array}\right.$，
∴Rt△CBO≌Rt△DOB（HL），
∴∠CBO=∠DOB，
∴OE=EB，
设CE=x，则EB=OE=8-x，
在Rt△COE中，根据勾股定理得：（8-x）²=x²+4²，
解得：x=3，
∴CE=3，OE=5，DE=3，
过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，
∴$\frac{OC}{DF}$=$\frac{OE}{DE}$=$\frac{CE}{EF}$，即$\frac{4}{DF}$=$\frac{5}{3}$=$\frac{3}{EF}$，
解得：DF=$\frac{12}{5}$，EF=$\frac{9}{5}$，
∴DF+OC=$\frac{12}{5}$+4=$\frac{32}{5}$，CF=3+$\frac{9}{5}$=$\frac{24}{5}$，
则D（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）．

点评 此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．