Question

如图所示，CA⊥AB，DB⊥AB，AD与BC的延长线相交于点E，作EF⊥AB，交AB延长线于点F，且AC=p，BD=q，EF=r，AF=m，FB=n．求证：

1

p

+

1

q

=

1

r

．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：推出AC∥BD∥EF，求出△BDE∽△CAE，△FBE∽△ABC，得出比例式

AC

BD

=

CE

BE

=

AF

BF

，

AC

EF

=

AB

BF

，代入后相减即可求出

p

q

-

p

r

=

m

n

-

m-n

n

=1，推出即可．

解答：证明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CAB=∠DBA=∠F=90°，
∴AC∥BD∥EF，
∴△BDE∽△CAE，△FBE∽△ABC，
∴

AC

BD

=

CE

BE

=

AF

BF

，

AC

EF

=

AB

BF

，
∵AC=p，BD=q，EF=r，AF=m，FB=n，
∴

p

q

=

m

n

，

p

r

=

m-n

n

，
∴

p

q

-

p

r

=

m

n

-

m-n

n

=1，
∴

1

q

-

1

r

=

1

p

，
∴

1

p

+

1

q

=

1

r

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．