Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点O在原点（如图1）．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转一定角度，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N．
（1）当点A第一次落在直线y=x上时停止旋转，此时图形旋转了

 

度；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求旋转角∠NOC的度数；
（3）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中（如图3），P值是否变化？请判断并证明你的结论．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，OA旋转了45°；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

解答：解：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
故答案为：45；
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=AN

．
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON=

1

2

（∠AOC-∠MON）=（90°-45°）=2

1

2

2.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为∠NOC=45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，

∠AOE=∠CON OA=OC ∠EAO=∠NCO=90°

．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE=ON ∠EOM=∠NOM=45° OM=OM

．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键．