Question

如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，⊙C的半径为2，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与⊙C切于点M，则PM的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结PC、MC、OC、BC，如图，利用垂径定理的推理由C为半圆的中点得到OC⊥AB，则△OCB为等腰直角三角形，所以BC=

2

OC=4

2

，再根据切线的性质得CM⊥PM，则利用勾股定理得到PM²=PC²-MC²=PC²-4，所以当PC最小时，PM最小，此时点P在C点处，可计算出此时PM=2

3

；当PC最大时，PM最大，此时点P在点A或B点时，可计算出此时PM=2

7

，然后写出PM的取值范围．

解答：解：连结PC、MC、OC、BC，如图，
∵直径AB=8，
∴OB=OC=4，
∵C为半圆的中点，
∴OC⊥AB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴BC=

2

OC=4

2

，
∵PM与⊙C切于点M，
∴CM⊥PM，
∴∠PMC=90°，
在Rt△PMC中，PM²=PC²-MC²=PC²-4，
当PC最小时，PM最小，此时点P在C点处，所以PM的最小值=

42-4

=2

3

；
当PC最大时，PM最大，此时点P在点A或B点时，所以PM的最大值=

(4 2 )2-4

=2

7

，
∴PM的取值范围为2

3

≤PM≤2

7

．
故答案为2

3

≤PM≤2

7

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．