Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）先根据：∠ACB=90°得出AD为⊙O的直径故可得出∠ACB=∠AED．再由AD是△ABC中∠BAC的平分线可知∠CAD=∠EAD，由HL定理得出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质可知AC=AE；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，设CD=DE=x，则DB=BC-CD=8-x，EB=AB-AE=10-6=4，在Rt△BED中，根据勾股定理得出x的值，再由△ACD是直角三角形即可得出AD的长．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，
∴AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠ACB=∠AED．
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴CD=DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，

AD=AD CD=ED

，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE；

（2）∵△ABC是直角三角形，且AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵由（1）得，∠AED=90°，
∴∠BED=90°．
设CD=DE=x，则DB=BC-CD=8-x，EB=AB-AE=10-6=4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BE²=BE²+ED²，即（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
∴CD=3，
∵AC=6，△ACD是直角三角形，
∴AD²=AC²+CD²=6²+3²=45，
∴AD=3

5

．

点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．