【题目】已知,,,(如图),点,分别为射线上的动点(点C、E都不与点B重合),连接AC、AE使得,射线交射线于点,设,.
(1)如图1,当时,求AF的长.
(2)当点在点的右侧时,求关于的函数关系式,并写出函数的定义域.
(3)连接交于点,若是等腰三角形,直接写出的值.
【答案】(1);(2);(3)或或.
【解析】
过点作于N,利用∠B的余弦值可求出BN的长,利用勾股定理即可求出AN的长,根据线段的和差关系可得CN的长,利用勾股定理可求出AC的长,根据AD//BC,AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形,可得∠B=∠D,进而可证明△ABC∽△ADF,根据相似三角形的性质即可求出AF的长;(2)根据平行线的性质可得,根据等量代换可得,进而可证明△ABC∽△ABE,根据相似三角形的性质可得,可用x表示出BE、CE的长,根据平行线分线段成比例定理可用x表示出的值,根据可得y与x的关系式,根据x>0,CE>0即可确定x的取值范围;(3)分PA=PD、AP=AD和AD=PD三种情况,根据BE=及线段的和差关系,分别利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.
(1)如图,过点作于N,
∵AB=5,,
∴在中,=5×=3,
∴AN===4,
∵BC=x=4,
∴CN=BC-BN=4-3=1,
在中,,
∵AD=4,BC=x=4,
∴AD=BC,
∵,
∴四边形为平行四边形,
∴,
又∵,
∴△ABC∽△ADF,
∴,
∴
解得:,
(2)∵,
∴,
∵,
∴,
又∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△ABE,
∴,
∴,
∵AD//BC,
∴,
∴,
∵x>0,CE=>0,
∴0<x<5,
∴,
(3)①如图,当PA=PD时,作AH⊥BM于H,PG⊥AD于G,延长GP交BM于N,
∵PA=PD,AD=4,
∴AG=DG=2,∠ADB=∠DAE,
∵AD//BE,
∴GN⊥BE,∠DAE=∠AEB,∠ADB=∠DBE,
∴∠DBE=∠AEB,
∴PB=PE,
∴BN=EN=BE=,
∵,AB=5,
∴BH=AB·cos∠ABH=3,
∵AH⊥BM,GN⊥MB,GN⊥AD,
∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°,
∴四边形AHNG是矩形,
∴HN=AG=2,
∴BN=BH+HN=3+2=5,
∴=5,
解得:x=.
②如图,当AP=AD=4时,作AH⊥BM于H,
∴∠ADB=∠APD,
∵AD//BM,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠APD=∠BPE,
∴∠DBC=∠BPE,
∴BE=PE=,
∵cos∠ABC=,AB=5,
∴BH=3,AH=4,
∴在Rt△AEH中,(4+)2=42+(3-)2,
解得:x=,
③如图,当AD=PD=4时,作AH⊥BM于H,DN⊥BM于N,
∴∠DAP=∠DPA,
∵AD//BM,
∴∠DAP=∠AEB,
∵∠APD=∠BPE,
∴∠BPE=∠AEB,
∴BP=BE=,
∵cos∠ABC=,AB=5,
∴BH=3,AH=4,
∵AD//BM,AH⊥BM,DN⊥BM,
∴四边形AHND是矩形,
∴DN=AH=4,HN=AD=4,
中Rt△BND中,(4+)2=42+(4+3)2,
解得:x=,
综上所述:x的值为或或.
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【题目】为弘扬传统文化,某校开展了“传承经典文化,阅读经典名著”活动.为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的阅读效果,该校举行了经典文化知识竞赛.现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析,过程如下:
收集数据:
七年级:79,85,73,80,75,76,87,70,75,94,75,79,81,71,75,80,86,59,83,77.
八年级:92,74,87,82,72,81,94,83,77,83,80,81,71,81,72,77,82,80,70,41.
整理数据:
七年级 | 0 | 1 | 0 | a | 7 | 1 |
八年级 | 1 | 0 | 0 | 7 | b | 2 |
分析数据:
平均数 | 众数 | 中位数 | |
七年级 | 78 | 75 | |
八年级 | 78 | 80.5 |
应用数据:
(1)由上表填空:a= ,b= ,c= ,d= .
(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人?
(3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好,请说明理由.
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【题目】如图1,的余切值为2,,点D是线段上的一动点(点D不与点A、B重合),以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上,且点F在点E的右侧,联结,并延长,交射线于点P.
(1)点D在运动时,下列的线段和角中,________是始终保持不变的量(填序号);
①;②;③;④;⑤;⑥;
(2)设正方形的边长为x,线段的长为y,求y与x之间的函数关系式,并写出定义域;
(3)如果与相似,但面积不相等,求此时正方形的边长.
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【题目】如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为直线BD,CE的交点.
(1)如图,将△ADE绕点A旋转,当D在线段CE上时,连接BE,下列给出两个结论:①BD=CD+AD;②BE2=2(AD2+AB2).其中正确的是 ,并给出证明.
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE绕点A旋转,
①当∠EAC=90°时,求PB的长;
②旋转过程中线段PB长的最大值是 .
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【题目】“元旦大酬宾!”,某商场设计的促销活动如下:在一个不透明的箱子里放有3张相同的卡片,卡片上分别标有“10元”、“20元”和“30元”的字样,规定:在本商场同一日内,顾客每消费满300元,就可以在箱子里摸出一张卡片,记下钱数后放回,再从中摸出一张卡片.商场根据两张卡片所标金额的和返还相等价格的购物券,购物券可以在本商场消费.某顾客刚好消费300元.
(1)该顾客最多可得到 元购物券;
(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于40元的概率.
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【题目】已知x=1+2m,y=1﹣m.
(1)若点(x,y)恰为抛物线y=ax2﹣ax+1的顶点,求a的值;
(2)求y关于x的函数表达式;
(3)若﹣3≤m≤1,x≤0,求y的取值范围.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点M,已知BC=5,点E在射线BC上,tan∠DCE=,点P从点B出发,以每秒2个单位沿BD方向向终点D匀速运动,过点P作PQ⊥BD交射线BC于点O,以BP、BQ为邻边构造PBQF,设点P的运动时间为t(t>0).
(1)tan∠DBE= ;
(2)求点F落在CD上时t的值;
(3)求PBQF与△BCD重叠部分面积S与t之间的函数关系式;
(4)连接PBQF的对角线BF,设BF与PQ交于点N,连接MN,当MN与△ABC的边平行(不重合)或垂直时,直接写出t的值.
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