【题目】如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为直线BD,CE的交点.
(1)如图,将△ADE绕点A旋转,当D在线段CE上时,连接BE,下列给出两个结论:①BD=CD+AD;②BE2=2(AD2+AB2).其中正确的是 ,并给出证明.
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE绕点A旋转,
①当∠EAC=90°时,求PB的长;
②旋转过程中线段PB长的最大值是 .
【答案】(1)①,证明详见解析;(2)①PB=;②2+2.
【解析】
(1)①由条件证明△ABD≌△ACE,就可以得到结论;②△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2,BC2=2AB2,就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论;
(2)分两种情形当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=2.由△PEB∽△AEC,得,由此即可解决问题;当点E在BA延长线上时,BE=6.解法类似;
②如图3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.分别求出PB即可;
(1)∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠DAE=∠BAC=90°,DE=AD,
∴∠DAB=∠EAC,且AE=AD,AB=AC,
∴△AEC≌△ADB(SAS)
∴BD=CE=DE+CD,
∴BD=CD+AD,
∴①正确,
∵BD⊥CE,
∴BE2=BD2+DE2,
∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,
∴DE2=2AD2,BC2=2AB2,
∵BC2=BD2+CD2≠BD2,
∴2AB2=BD2+CD2≠BD2,
∴BE2≠2(AD2+AB2),
∴②错误.
故答案为①;
(2)①图1中,当点E在AB上时,BE=AB﹣AE=2.
∵∠EAC=90°,
∴CE===2,
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠PEB=∠AEC,
∴△PEB∽△AEC.
∴,
∴
∴PB=.
如图2中,当点E在BA延长线上时,BE=AB+AE=6.
∵∠EAC=90°,
∴CE===2,
同(1)可证△ADB≌△AEC.
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA,
∴△PEB∽△AEC,
∴,
∴,
∴PB=,
综上,PB=或;
②如图3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.
理由:此时∠BCE最大,因此PB最大,(△PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最大,因此PB最大)
∵AE⊥EC,
∴EC===2,
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC=90°,BD=CE=2,
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°,
∴四边形AEPD是矩形,
∴PD=AE=2,
∴PB=BD+PD=2+2,
综上所述,PB长的最大值是2+2,
故答案为:2+2.
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【题目】两地相距,甲、乙两人从两地出发相向而行,甲先出发.图中表示两人离地的距离与时间的关系,结合图象,下列结论错误的是( )
A.是表示甲离地的距离与时间关系的图象
B.乙的速度是
C.两人相遇时间在
D.当甲到达终点时乙距离终点还有
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【题目】如图,在中,,点是边上的动点(不与重合),点在边上,并且满足.
(1)求证:;
(2)若的长为,请用含的代数式表示的长;
(3)当(2)中的最短时,求的面积.
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【题目】如图所示,线段,,,,点为射线上一点,平分交线段于点(不与端点,重合).
(1)当为锐角,且时,求四边形的面积;
(2)当与相似时,求线段的长;
(3)设,,求关于的函数关系式,并写出定义域.
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【题目】已知,,,(如图),点,分别为射线上的动点(点C、E都不与点B重合),连接AC、AE使得,射线交射线于点,设,.
(1)如图1,当时,求AF的长.
(2)当点在点的右侧时,求关于的函数关系式,并写出函数的定义域.
(3)连接交于点,若是等腰三角形,直接写出的值.
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【题目】如图,⊙O为等边△ABC的外接圆,AD∥BC,∠ADC=90°,CD交⊙O于点E.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若DE=2,求阴影部分的面积.
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【题目】为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度,现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查(把调查结果分为四个等级:A级:非常满意:B级满意;C级:基本满意:D级:不满意),并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图,请根据统计图中的信息解决下列问题:
(1)本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ;
(2)图①中,∠α的度数是 ,并把图②条形统计图补充完整;
(3)某县建档立卡贫困户有10000户,如果全部参加这次满意度调查,请估计非常满意的户数约为多少户?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以为圆心作⊙,⊙与轴交于、,与轴交于点,为⊙上不同于、的任意一点,连接、,过点分别作于,于.设点的横坐标为,.当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中,下列图象中能表示与的函数关系的部分图象是( )
A.B.C.D.
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