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【题目】如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE90°,点P为直线BDCE的交点.

1)如图,将△ADE绕点A旋转,当D在线段CE上时,连接BE,下列给出两个结论:BDCD+ADBE22AD2+AB2).其中正确的是   ,并给出证明.

2)若AB4AD2,把△ADE绕点A旋转,

当∠EAC90°时,求PB的长;

旋转过程中线段PB长的最大值是   

【答案】1,证明详见解析;(2PB②2+2

【解析】

1)①由条件证明ABD≌△ACE,就可以得到结论;②BDE为直角三角形就可以得出BE2BD2+DE2,由DAEBAC是等腰直角三角形就有DE22AD2BC22AB2,就有BC2BD2+CD2≠BD2就可以得出结论;

2)分两种情形当点EAB上时,BEABAE2.由PEB∽△AEC,得,由此即可解决问题;当点EBA延长线上时,BE6.解法类似;

②如图3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.分别求出PB即可;

1)∵△ABCADE是有公共顶点的等腰直角三角形,

AEADABAC,∠DAE=∠BAC90°DEAD

∴∠DAB=∠EAC,且AEADABAC

∴△AEC≌△ADBSAS

BDCEDE+CD

BDCD+AD

∴①正确,

BDCE

BE2BD2+DE2

∵∠BAC=∠DAE90°ABACADAE

DE22AD2BC22AB2

BC2BD2+CD2≠BD2

2AB2BD2+CD2≠BD2

BE2≠2AD2+AB2),

∴②错误.

故答案为①;

2)①图1中,当点EAB上时,BEABAE2

∵∠EAC90°

CE2

同(1)可证ADB≌△AEC

∴∠DBA=∠ECA

∵∠PEB=∠AEC

∴△PEB∽△AEC

PB

如图2中,当点EBA延长线上时,BEAB+AE6

∵∠EAC90°

CE2

同(1)可证ADB≌△AEC

∴∠DBA=∠ECA

∵∠BEP=∠CEA

∴△PEB∽△AEC

PB

综上,PB

②如图3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在⊙A上方与⊙A相切时,PB的值最大.

理由:此时∠BCE最大,因此PB最大,(PBC是直角三角形,斜边BC为定值,∠BCE最大,因此PB最大)

AEEC

EC2

由(1)可知,ABD≌△ACE

∴∠ADB=∠AEC90°BDCE2

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP90°

∴四边形AEPD是矩形,

PDAE2

PBBD+PD2+2

综上所述,PB长的最大值是2+2

故答案为:2+2

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