【题目】如图所示,线段,,,,点为射线上一点,平分交线段于点(不与端点,重合).
(1)当为锐角,且时,求四边形的面积;
(2)当与相似时,求线段的长;
(3)设,,求关于的函数关系式,并写出定义域.
【答案】(1)16;(2)2或;(3)
【解析】
(1)过C作CH⊥AB与H,在Rt△BCH中,求出CH、BH,再求出CD即可解决问题;
(2)分两种情形①∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA;②∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,得△BEC≌△BET;分别求解即可;
(3)根据DM∥AB,得,构建函数关系式即可;
解:(1)如图,过作于,
∵,,
∴四边形为矩形.
在中,,,,
∴,
∴,
则四边形的面积.
(2)∵平分,
∴,
当与相似时,
①,
∵,
∴,
∴,
在中,,
∴.
②,
延长交延长线于,
∵,,,
∴,
∴,,
∵,
∴.
令,
则在中,,,,
∴,
解得.
综上,当与相似时,线段的长为2或.
(3)延长交延长线于,
∵,
∴,
∴.
在中,.
则,
又∵,
∴,
即,
解得.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,且与反比例函数在第一象限的图象交于点,轴于点,.
(1)求点的坐标;
(2)动点在轴上,轴交反比例函数的图象于点.若,求点的坐标.
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【题目】如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=4,点D在射线BC上,以点D为圆心,BD为半径画弧交边AB于点E,过点E作EF⊥AB交边AC于点F,射线ED交射线AC于点G.
(1)求证:△EFG∽△AEG;
(2)设FG=x,△EFG的面积为y,求y关于x的函数解析式并写出定义域;
(3)联结DF,当△EFD是等腰三角形时,请直接写出FG的长度.
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【题目】如图1,的余切值为2,,点D是线段上的一动点(点D不与点A、B重合),以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上,且点F在点E的右侧,联结,并延长,交射线于点P.
(1)点D在运动时,下列的线段和角中,________是始终保持不变的量(填序号);
①;②;③;④;⑤;⑥;
(2)设正方形的边长为x,线段的长为y,求y与x之间的函数关系式,并写出定义域;
(3)如果与相似,但面积不相等,求此时正方形的边长.
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【题目】如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为直线BD,CE的交点.
(1)如图,将△ADE绕点A旋转,当D在线段CE上时,连接BE,下列给出两个结论:①BD=CD+AD;②BE2=2(AD2+AB2).其中正确的是 ,并给出证明.
(2)若AB=4,AD=2,把△ADE绕点A旋转,
①当∠EAC=90°时,求PB的长;
②旋转过程中线段PB长的最大值是 .
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【题目】已知x=1+2m,y=1﹣m.
(1)若点(x,y)恰为抛物线y=ax2﹣ax+1的顶点,求a的值;
(2)求y关于x的函数表达式;
(3)若﹣3≤m≤1,x≤0,求y的取值范围.
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【题目】已知,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使PA+PC的值最小?如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标.
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