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【题目】如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°BC=2AC=4,点D在射线BC上,以点D为圆心,BD为半径画弧交边AB于点E,过点EEFAB交边AC于点F,射线ED交射线AC于点G

1)求证:△EFG∽△AEG

2)设FG=xEFG的面积为y,求y关于x的函数解析式并写出定义域;

3)联结DF,当△EFD是等腰三角形时,请直接写出FG的长度.

【答案】(1)详见解析;(2)3当△EFD为等腰三角形时,FG的长度是:

【解析】试题分析:(1)由等边对等角得∠B=BED,由同角的余角相等可得∠A=GEF,进而由两角分别相等的两个三角形相似,可证EFG∽△AEG

2EHAF于点H,由tanA=EFG∽△AEG,得AG=4xAF=3xEH=

可得y关于x的解析式;

3EFD是等腰三角形,分三种情况讨论:①EF=EDED=FDED=EF三种情况讨论即可.

试题解析:1 ED=BD

B=BED

ACB=90°

B+A=90°

EFAB

BEF=90°

BED+GEF=90°

A=GEF

G是公共角,

EFG∽△AEG

2)作EHAF于点H

RtABC中,∠ACB=90°BC=2AC=4

tanA==

RtAEF中,∠AEF=90°tanA==,

EFG∽△AEG

,

FG=x

EG=2xAG=4x

AF=3x

EHAF

AHE=EHF=90°

EFA+FEH=90°

AEF=90°

A+EFA=90°,

A=FEH,

tanA =tanFEH,

RtEHF中,∠EHF=90°tanFEH==,

EH=2HF,

RtAEH中,∠AHE=90°tanA==

AH=2EH

AH=4HF

AF=5HF

HF=

EH=

y=FG·EH==定义域:(0<x≤);

3)当EFD为等腰三角形时,

①当ED=EF时,则有∠EDF=EFD

∵∠BED=EFH

∴∠BEH=AHG

∵∠ACB=AEH=90°

∴∠CEF=HEF,即EF为∠GEH的平分线,

ED=EF=xDG=8x

anA=

x=3,即BE=3

②若FE=FD, 此时FG的长度是;

③若DE=DF, 此时FG的长度是.

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