Question

【题目】（1）（问题解决）已知点在内，过点分别作关于、的对称点、.

①如图1，若，请直接写出______；

②如图2，连接分别交、于、，若，求的度数；

③在②的条件下，若度（），请直接写出______度（用含的代数式表示）.

（2）（拓展延伸）利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在中，，点是内部一定点，，点、分别在边、上，请你在图3中画出使周长最小的点、的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）【问题解决】①；②；③；（2）【拓展延伸】如图，见解析；周长最小值为8．

【解析】

（1）①连接OP，由点P关于直线OA的对称点，点P关于直线OB的对称点，可得，，再由+=2（+）=2,即可求得∠AOB的度数；②由，根据三角形的内角和定理可得；由轴对称的性质得，，，再由三角形外角的性质可得，，所以，即可求得；由轴对称的性质可得，由四边形的内角和为360°即可求得； ③类比②的方法即可解答；（2）作点P关于边AB的对称点，再作点P关于边AC的对称点 ，连结，分别交AB、AC于点E、F，此时的周长最小，最小为的长，由①的方法求得∠A=60°，A=A，再由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定△A是等边三角形，根据等边三角形的性质可得=AP=8，由此即可得周长最小值为8．

（1）①连接OP，

∵点P关于直线OA的对称点，点P关于直线OB的对称点，

∴，，

∴+=2（+）=2,

故答案为：50°；

②如图2，

∵，

∴，

由轴对称的性质得，，，

∵，，

∴，

∴，

由轴对称的性质得，，

∴；

③.

如图2，

∵，

∴，

由轴对称的性质得，，，

∵，，

∴，

∴，

由轴对称的性质得，，

∴=；

故答案为：；

（2）如图所示，的周长最小，周长最小值为8．

①画点P关于边AB的对称点，

②画点P关于边AC的对称点 ，

③连结，分别交AB、AC于点E、F，

此时的周长最小，周长最小值为8．