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【题目】已知,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣10)和C03).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使PA+PC的值最小?如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标.

【答案】(1);(2)的值最小时,点P的坐标为;(3)点M的坐标为.

【解析】

由点A、C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

连接BC交抛物线对称轴于点P,此时取最小值,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,利用配方法可求出抛物线的对称轴,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;

设点M的坐标为,则,分三种情况,利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程,解之可得出m的值,进而即可得出点M的坐标.

解:代入中,

得:,解得:

抛物线的解析式为

连接BC交抛物线对称轴于点P,此时取最小值,如图1所示.

时,有

解得:

B的坐标为

抛物线的解析式为

抛物线的对称轴为直线

设直线BC的解析式为

代入中,

得:,解得:

直线BC的解析式为

时,

的值最小时,点P的坐标为

设点M的坐标为

分三种情况考虑:

时,有,即

解得:

M的坐标为

时,有,即

解得:

M的坐标为

时,有,即

解得:

M的坐标为

综上所述:当是直角三角形时,点M的坐标为

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