Question

【题目】已知锐角的余弦值为，点在射线上，，点在的内部，且，．过点的直线分别交射线、射线于点、．点在线段上（点不与点重合），且．

（1）如图1，当时，求的长；

（2）如图2，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式并写出函数定义域；

（3）联结，当与相似时，请直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）由锐角三角函数可求AC＝15，根据勾股定理和三角形面积公式可求AB，AF的长，即可求EF的长；

（2）通过证△FAE∽△FCA和△BDE∽△CFA，可得y关于x的函数解析式；

（3）分△ADF∽△CEA，△ADF∽△CAE两种情况讨论，通过等腰三角形的性质和相似三角形性质可求BD的长．

解：（1）在中

（2）过点作于点

，，

，，

又，

，，

，，

（3）如图，若△ADF∽△CAE，

∵△△ADF∽△CEA，

∴∠ADF＝∠AEC，

∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，

∴∠DAF+∠MBN＝180°，

∴点A，点F，点B，点D四点共圆，

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，

∴AB＝AE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，

∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，

∴∠BDE＝90°＝∠AFC，

∵S△ABC=×AB×AC=×BC×AF，

∴AF，

∴BF=，

∵AB＝AE，∠AFC＝90°，

∴BE＝2BF＝32，

∴cos∠MBN=，

∴BE=，

如图，若△ADF∽△CAE，

∵△ADF∽△CAE，

∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，

∴AC//DF

∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，

∴∠MBN＝∠DFB，

∴DF＝BD，

∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，

∴∠DAF+∠MBN＝180°，

∴点A，点F，点B，点D四点共圆，

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，

∴△ABE∽△CAE

∴

设CE＝3k，AE＝4k，(k≠0)

∴BE=，

∵BC＝BECE＝25

∴k=

∴AE=，CE=，BE=

∵∠ACB＝∠FAE，∠AFC＝∠AFE，

∴△AFC∽△EFA，

∴，

设AF＝7a，EF＝20a，

∴CF=，

∵CE＝EFCF=，

∴a=，

∴EF=，/p>

∵AC//DF，

∴，

∴，

故答案为：或