Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）经过点A的直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，若S△OPA=2S△OQA，试求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+2；（2）详见解析；（3）点P的坐标为（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．

【解析】

（1）根据题意得出方程组，求出b、c的值，即可求出答案；

（2）求出B、C的坐标，根据点的坐标求出AB、BC、AC的值，根据勾股定理的逆定理求出即可；

（3）分为两种情况，画出图形，根据相似三角形的判定和性质求出点PE的长，即可得出答案．

解：（1）由题意得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2；

（2）∵由y=-x2+2x+2得：当x=0时，y=2，

∴B（0，2），

由y=-（x-1）2+3得：C（1，3），

∵A（3，-1），

∴AB=3，BC=，AC=2，

∴AB2+BC2=AC2，

∴∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）①如图，当点Q在线段AP上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==1，

∴PE=AD=1

∵由-x2+2x+2=1得：x=1，

∴P（1+，1）或（1-，1），

②如图，当点Q在PA延长线上时，

过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵S△OPA=2S△OQA，

∴PA=2AQ，

∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，

∴△PQE∽△AQD，

∴==3，

∴PE=3AD=3

∵由-x2+2x+2=-3得：x=1±，

∴P（1+，-3），或（1-，-3），

综上可知：点P的坐标为（1+，1）、（1-，1）、（1+，-3）或（1-，-3）．