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【题目】如图,平面直角坐标系中,函数y=的图像与xy轴分别交于点AB.AB为直径作M.

1)求AB的长;

2)点DM上任意一点,且点D在直线AB上方,过点DDHAB,垂足为H,连接BD.

①当BDH中有一个角等于BAO两倍时,求点D的坐标;

②当DBH=45°时,求点D的坐标.

【答案】1AB=4;(2)①(3);D(-2);②D.

【解析】

1)根据一次函数的解析式求出A,B两点的坐标,再利用勾股定理即可求出AB的长;(2)①连接OM,由OMRt△AOB斜边AB上中线,证得△OBM为等边三角形,则∠OBM=60°,得到∠BAO=30°,再分∠DBH=2BAO=60°时与∠BDH=2∠BAO=60°时两种情况分别讨论求解;②当∠DBH=45°时,易得∠DAB=45°,则AH=DH=BH,所以MH重合,作DC⊥y轴于CDE⊥x轴于E,易证△DCB≌△DEA,CB=AE,设CB=AE=a,则DC=OE=2,因为BD=,由勾股定理得,DC2+CB2=DB2,所以,求出a的值,再根据题意舍去一个,即可求解.

解:(1)对于y=

x=0时,y=2;当y=0时,x=-2.

所以点A(-2B0,2),

所以OB=2,OA=2.根据勾股定理得,AB==4.

2连接OM.

因为OMRt△AOB斜边AB上中线,

所以OM=AM=BM=AB=2=OB,

所以△OBM为等边三角形,则∠OBM=60°,

∠BAO=30°.

1)如图,当∠DBH=2BAO=60°时,

连接DM,并延长交AO于点N.

∵∠DBH=60°DM=BM,

△BDM为等边三角形,

∴∠DMB =60°

故∠AMN=DMB =60°

所以∠MNA=180-30°-60°=90°

所以MNAO,DNAO

ON=AO=

DN=DM+MN=BM+AM=AB+AB=3

所以D3);

2)如图,

∠BDH=2∠BAO=60°时,

DM=BM=AM=OM

∴四边形BDAO为矩形,

可得,DA=BO=2,BD=OA=2.

所以D(-2).

如图,

∠DBH=45°时,

AH=BH,DMAB∴△ABD为等腰直角三角形,

∠DAB=45°

AH=DH=BH,所以MH重合.

DC⊥y轴于CDE⊥x轴于E

DEAO,DC⊥CO

∴∠ADE+∠EDB=90°,又∠EDB+∠BDC=90°

∴∠ADE=∠BDC

AD=BD,

△DCB≌△DEAAAS,CB=AE

CB=AE=a,则DC=OE=2

因为BD=,

由勾股定理得,DC2+CB2=DB2,

所以

解得a=

a=时,OC=DE=3+>4,不符合题意.

a=时,OC=OE=,所以D

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