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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,OB=OC=2AB=.

(1)求点D的坐标,直线CD的函数表达式;

(2)已知点P是直线CD上一点,当点P满足SPAO=SABO时,求点P的坐标;

(3)若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F(不与AB重合),使以A C FM为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出F点的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1D43),;(2P3)或(-3);(3F-30)或(26)或()或().

【解析】

1)先求出A点坐标,然后根据菱形的性质得到D点的坐标,利用CD两点的坐标求出解析式;

2)利用点P是直线CD上一点,AO为△PAO的底边不变,并且SPAO=SABO,分两种情况讨论即可;

3)根据菱形的性质,分ACAF是邻边,ACAF是邻边,AC是对角线,AF是对角线四种的情况分别进行求解计算.

解:∵OB=OC=2AB=

AD=OB+OC=2+2=4

A点的坐标为:(03),

D点的坐标为:(43),

C点的坐标为:(20),

设直线CD的函数表达式为:

∴将CD点的坐标代入,得:

,解之得:

∴直线CD的函数表达式为:

2

如图示:∵

P点坐标为(

即:

则:,或

,或

P点坐标为()或(-3);

3 ∵由(1)得OB=OC=2AB=OA=3

AC=

①当ACAF是邻边时,如图示,

AF=AC=,即点FB重合,

F的坐标为(-30),
②当ACAF是邻边,如图示,

M在直线AD上,且FC垂直平分AMCF沿AD成轴对称,
F的坐标为:(26),

AC是对角线时,如图示:

AC垂直平分线FE

AC经过A03),C20),

AC解析式为:,并且E点的坐标为(1),

∴设FE的解析式为:,将E点坐标,代入化简得:

FE的解析式为:

又∵AB经过A03),B-20),

AB解析式为:

∴F点的坐标为方程组 的解,

解之得: ,

∴则F的坐标为:(,

AF是对角线时,如图示:

CAB垂线,垂足为N

F点的横坐标为,根据F点在AB上,并AB解析式为:

F的坐标为:(,

则根据勾股定理,有:

F的坐标为:(

综上所述,F点的坐标为:(-30)或(26)或()或(

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