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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=﹣x2平移后经过点A(﹣10)、B40),且平移后的抛物线与y轴交于点C(如图).

1)求平移后的抛物线的表达式;

2)如果点D在线段CB上,且CD,求∠CAD的正弦值;

3)点Ey轴上且位于点C的上方,点P在直线BC上,点Q在平移后的抛物线上,如果四边形ECPQ是菱形,求点Q的坐标.

【答案】1y=﹣x2+3x+4;(2sinCAD=;(3)点Q的坐标为(4-5-2).

【解析】

1)根据平移前后a的值不变,用待定系数法求解即可;

2)求出直线BC的解析式,确定点D的坐标,过点DDMAC,过点BBNAC,垂足分别为点MN,运用面积法求出BN,再根据相似三角形的性质求出DM,根据直角三角函数求解即可;

3)设点Q的坐标为(n,﹣n2+3n+4),如果四边形ECPQ是菱形,则n0PQy轴,PQPC,点P的坐标为(n,﹣n+4),根据邻边相等列出方程即可求解.

1)设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c

A(﹣10)、B40),代入得

解得:

所以,y=﹣x2+3x+4

2)如图1

y=﹣x2+3x+4,∴点C的坐标为(04).

设直线BC的解析式为ykx+4,将B40),代入得kx+40,解得k=﹣1

y=﹣x+4

设点D的坐标为(m4m).

CD,∴22m2,解得m1m=﹣1(舍去),

∴点D的坐标为(13).

过点DDMAC,过点BBNAC,垂足分别为点MN

DMBN,∴

3)如图2

设点Q的坐标为(n,﹣n2+3n+4).

如果四边形ECPQ是菱形,则n0PQy轴,PQPC,点P的坐标为(n,﹣n+4).

PQ=﹣n2+3n+4+n44nn2

,解得n0(舍).

∴点Q的坐标为().

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问题解决

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