【题目】在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=﹣x2平移后经过点A(﹣1,0)、B(4,0),且平移后的抛物线与y轴交于点C(如图).
(1)求平移后的抛物线的表达式;
(2)如果点D在线段CB上,且CD=,求∠CAD的正弦值;
(3)点E在y轴上且位于点C的上方,点P在直线BC上,点Q在平移后的抛物线上,如果四边形ECPQ是菱形,求点Q的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)sin∠CAD=;(3)点Q的坐标为(4-,5-2).
【解析】
(1)根据平移前后a的值不变,用待定系数法求解即可;
(2)求出直线BC的解析式,确定点D的坐标,过点D作DM⊥AC,过点B作BN⊥AC,垂足分别为点M、N,运用面积法求出BN,再根据相似三角形的性质求出DM,根据直角三角函数求解即可;
(3)设点Q的坐标为(n,﹣n2+3n+4),如果四边形ECPQ是菱形,则n>0,PQ∥y轴,PQ=PC,点P的坐标为(n,﹣n+4),根据邻边相等列出方程即可求解.
(1)设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c.
将A(﹣1,0)、B(4,0),代入得
解得:
所以,y=﹣x2+3x+4.
(2)如图1
∵y=﹣x2+3x+4,∴点C的坐标为(0,4).
设直线BC的解析式为y=kx+4,将B(4,0),代入得kx+4=0,解得k=﹣1,
∴y=﹣x+4.
设点D的坐标为(m,4﹣m).
∵CD=,∴2=2m2,解得m=1或m=﹣1(舍去),
∴点D的坐标为(1,3).
过点D作DM⊥AC,过点B作BN⊥AC,垂足分别为点M、N.
∵,
∴,
∴.
∵DM∥BN,∴,
∴,
∴.
∴.
(3)如图2
设点Q的坐标为(n,﹣n2+3n+4).
如果四边形ECPQ是菱形,则n>0,PQ∥y轴,PQ=PC,点P的坐标为(n,﹣n+4).
∵PQ=﹣n2+3n+4+n﹣4=4n﹣n2,,
∴,解得或n=0(舍).
∴点Q的坐标为(,).
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【题目】(6分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)
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【题目】如图.电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率等于 ;
(2)任意闭合其中两个开关,请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系,格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2,2),B(﹣3,1),C(﹣1,0).
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△DEF,画出△DEF;
(2)以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格内画出放大后的△A1B1C1,若P(x,y)为△ABC中的任意一点,这次变换后的对应点P1的坐标为 .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,tan∠CAB=2,将△ABC绕点A旋转后,点B落在AC的延长线上的点D,点C落在点E,DE与直线BC相交于点F,那么CF=_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,有两条抛物线关于x轴对称,且他们的顶点相距10个单位长度,若其中一条抛物线的函数表达式为y=+6x+m,则m的值是 ( )
A. -4或-14 B. -4或14 C. 4或-14 D. 4或14
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【题目】问题探究
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产只同一型号的零件,他们生产的零件(只)与生产时间(分)的函数关系的图象如图所示。根据图象提供的信息解答下列问题:
(1)甲每分钟生产零件_______只;乙在提高生产速度之前已生产了零件_______只;
(2)若乙提高速度后,乙的生产速度是甲的倍,请分别求出甲、乙两人生产全过程中,生产的零件(只)与生产时间(分)的函数关系式;
(3)当两人生产零件的只数相等时,求生产的时间;并求出此时甲工人还有多少只零件没有生产.
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【题目】(8分)张师傅驾车运送草莓到某地出售,汽车出发前油箱有油50升,行驶若干小时后,途中在加油站加油若干升,油箱中剩余油量 (升)与行驶时间 (小时)之间的关系如图所示.
请根据图象回答下列问题:
(1)汽车行驶 小时后加油,中途加油 升;
(2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式;
(3)已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶,如果加油站距目的地210千米,要到达目的地,问油箱中的油是否够用?请说明理由.
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