Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，3）．

(1)求一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数关系式；

(2)△AOC的面积为______；

(3)若点M在第二象限，△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点M的坐标为（-6，4）或（-2，6）.

【解析】

(1)将点C（m，3）代入正比例函数y＝x求出C点的坐标，然后将点B、C的坐标代入y＝kx＋b，即可求出一次函数解析式；

(2) 由解析式求得A的坐标，即可求出△AOC的面积；

(3)由题意可分两种情况，即A为直角顶点和B为直角顶点，分别设对应的M点为M2和M1，过点M1作M1E⊥y轴于点E，过点M2作M2F⊥x轴于点F，可证明△BEM1≌△AOB（AAS），可求得M1的坐标，同理可求得M2的坐标，可得出M点的坐标．

（1）∵点C（m，3）在正比例函数图象y＝x上，

∴ m＝2，

∴点C的坐标是（2，3）

∵点B（0，2）、C（2，3）在一次函数y＝kx＋b图象上，

∴代入一次函数解析式可得：b＝2，2k＋b＝3 ，

解得k＝ ，b＝2，

∴一次函数的解析式为；

（2）∵点A在函数上，并且点A在x轴上，

∴当y=0时， ，解得，

∴点A的坐标是（-4，0）, 根据点C的坐标是（2，3）

∴；

（3）如图，

∵点M在第二象限，△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴①当AB=BM1时，过点M1作M1E⊥y轴于点E，
∵∠M1BE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠M1B E，
∵在△BED1和△AOB中，

∴△BEM1≌△AOB（AAS），
∴BE=AO=4，M1E=BO=2，
即可得出点M的坐标为（-2，6）；

②当AB=AM2时，过点M2作M2F⊥x轴于点F，
同理可得出：△AFM2≌△AOB，
∴FA=BO=2，M2F=AO=4，
∴点M的坐标为（-6，4）．
综上可知点M的坐标为（-2，6）或（-6，4）．