Question

9．如图．点A（3，1），B（-1，n）是一次函数y₁=ax+b和反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$图象的交点．
（1）求两个函数的表达式；
（2）观察图象直接写出y₁≥y₂时自变量x的取值范围；
（3）在平面内求点M，使△AOM是以OA为直角边的等腰直角三角形，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入反比例函数关系式即可求出k值，从而得出反比例函数关系式；将B点坐标代入反比例函数关系式即可求出n值，结合A、B点坐标即可求出一次函数关系式；
（2）结合函数图象，找到x在什么范围内一次函数图象在反比例函数图象上方即可；
（3）设点M的坐标为（m，n）．由两点间的距离公式结合等腰直角三角形的性质即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（3，1）代入到反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$中得：1=$\frac{k}{3}$，
解得：k=3，
∴反比例函数表达式为y₂=$\frac{3}{x}$．
将点B（-1，n）代入到y₂=$\frac{3}{x}$中得：n=$\frac{3}{-1}$=-3，
即点B的坐标为（-1，-3）．
将点A（3，1）、点B（-1，-3）代入到y₁=ax+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{1=3a+b}\\{-3=-a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数表达式为y₁=x-2．
（2）当-1＜x＜0和x＞3时，y₁的图象在y₂的上方，
∴y₁≥y₂时自变量x的取值范围为-1≤x＜0和x≥3．
（3）设点M的坐标为（m，n）．
则OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{（m-3）^{2}+（n-1）^{2}}$，OM=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$．
当∠MAO=90°时，有$\left\{\begin{array}{l}{AO=AM}\\{O{M}^{2}=A{O}^{2}+A{M}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{10}=\sqrt{（m-3）^{2}+（n-1）^{2}}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=10+（m-3）^{2}+（n-1）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
此时M点的坐标为（-2，4）或（4，-2）；
当∠MOA=90°时，有$\left\{\begin{array}{l}{OM=OA}\\{A{M}^{2}=O{M}^{2}+O{A}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{10}=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}\\{（m-3）^{2}+（n-1）^{2}=10+{m}^{2}+{n}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
此时M点的坐标为（1，-3）或（-1，3）．
综上可知：使△AOM是以OA为直角边的等腰直角三角形的点M的坐标为（-2，4）、（4，-2）、（1，-3）或（-1，3）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式、勾股定理以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）根据待定系数法求出函数关系式；（2）结合函数图象解决不等式的解；（3）结合两点间的距离公式即勾股定理得出关于m、n的二元二次方程组．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）有点难度，很多同学在解决该问中只考虑了一种情况，易造成失分，故在日常学习中，应加强对该类题型的练习．