Question

定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.

已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.

（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,

当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______

 （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.

①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;

②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）2；（2）（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=

【解析】解：（1）2；。

       （2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。

当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。

                当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，

则根据定义，d=EB。

               

②存在。如图，

由A(4，0)，D(0，2), 得。

                

                  又FM₄=2，∴。

                  若△AOD∽△A H₂M₂，则,即,

                   解得（不合题意，舍去）。此时m=。

                   若△AOD∽△M₂H₂ A，则,即,

                   解得（不合题意，舍去）。