Question

如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．

（1）求证：△ADP∽△BDA；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2） PA+PB=PC，证明详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案；

（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；

（3）利用△ADP∽△BDA，得出，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则，则AP²=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．

（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，

∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，

∴AP²=CP•PD，∴AP²=（3+AP）•1，

解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．

考点：切线的性质；圆周角定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质．