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【题目】已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.

(1)求AE和BE的长;

(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,平移中的△ABF为△A1B1F1设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).

①当点F分别平移到线段AB上时,求出m的值

②当点F分别平移到线段AD上时,当直接写出相应的m的值.

(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AE交于点O,当∠A′BD=∠FAB时,请直接写出OB的长.

【答案】(1)AE=4,BE=3;(2)①3;②;(3)1或.

【解析】分析:(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解;(2)依题意画出图形,如答图2所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m的值;(3)在旋转过程中,分两种情形分别求解即可.

本题解析:

(1)在RtABD中,AB=5,AD=

由勾股定理得:BD=

SABD=BDAE=ABAD,

AE==4.

在RtABE中,AB=5,AE=4,由勾股定理得:BE=3.

(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:

由对称点性质可知,∠1=∠2.

由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.

当点F′落在AB上时,

∵AB∥A′B′,∴∠3=∠4,∴∠3=∠2,

BB′=B′F′=3,即m=3;

当点F′落在AD上时,

∵AB∥A′B′,∴∠6=∠2,

∵∠1=∠2,∠5=∠1,∴∠5=∠6,

又易知A′B′⊥AD,

∴△B′F′D为等腰三角形,∴B′D=B′F′=3,

BB=BD﹣B′D=﹣3=,即m=

(3)如图3中,设AE交BA′于K.

∵∠KBE=∠FAB=∠BAE,∠KEB=∠AEB,

∴△EKB∽△EBA,可得BE2=EKEA,EK=

在RtBEK中,BK=

AK=5﹣=∵∠A=KBE,OABE,

OK=AO=AE﹣OK=KE=1.

如图4中,当∠DBA′=∠BAF时,点A′在线段BC上,

易证∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,设OA=OB=x,

在RtOBE中,∵OB2=OE2+BE2,∴x2=32+(4﹣x)2

x=OA=

综上所述,满足条件的OA的长为1或

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②求线段OD的长;

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