【题目】已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,平移中的△ABF为△A1B1F1设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).
①当点F分别平移到线段AB上时,求出m的值
②当点F分别平移到线段AD上时,当直接写出相应的m的值.
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AE交于点O,当∠A′BD=∠FAB时,请直接写出OB的长.
【答案】(1)AE=4,BE=3;(2)①3;②;(3)1或.
【解析】分析:(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解;(2)依题意画出图形,如答图2所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m的值;(3)在旋转过程中,分两种情形分别求解即可.
本题解析:
(1)在Rt△ABD中,AB=5,AD=,
由勾股定理得:BD=.
∵S△ABD=BDAE=ABAD,
∴AE==4.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,由勾股定理得:BE=3.
(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:
由对称点性质可知,∠1=∠2.
由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①当点F′落在AB上时,
∵AB∥A′B′,∴∠3=∠4,∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②当点F′落在AD上时,
∵AB∥A′B′,∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,∴∠5=∠6,
又易知A′B′⊥AD,
∴△B′F′D为等腰三角形,∴B′D=B′F′=3,
∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=,即m=.
(3)如图3中,设AE交BA′于K.
∵∠KBE=∠FAB=∠BAE,∠KEB=∠AEB,
∴△EKB∽△EBA,∴可得BE2=EKEA,∴EK=,
在Rt△BEK中,BK=,
∴A′K=5﹣=,∵∠A′=∠KBE,∴OA′∥BE,∴,
∴,∴OK=,∴AO=AE﹣OK=KE=1.
如图4中,当∠DBA′=∠BAF时,点A′在线段BC上,
易证∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,设OA=OB=x,
在Rt△OBE中,∵OB2=OE2+BE2,∴x2=32+(4﹣x)2,
∴x=,∴OA=,
综上所述,满足条件的OA的长为1或.
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【题目】2016年3月,我市某中学举行了“爱我中国朗诵比赛”活动,根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级,并绘制了不完整的两种统计图.根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)参加朗诵比赛的学生共有 人,并把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中,m= ,n= ;C等级对应扇形有圆心角为 度;
(3)学校欲从获A等级的学生中随机选取2人,参加市举办的朗诵比赛,请利用列表法或树形图法,求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率.
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【题目】一次新冠病毒防疫知识竞赛有25道题,评委会决定:答对一道题得4分,答错或不答一题扣1分,在这次知识竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),那么小明至少答对了__________道题.
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【题目】在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后,背面向上,洗匀放好.
(1)从中随机抽取一张,若以卡片上的数字作为三角形的三边长,能构成三角形的概率为
(2)先从中随机抽取一张(不放回),再从剩下的卡片中随机抽取一张,请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率(满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c成为勾股数)
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H,交抛物线于点M,过点C作CF⊥l于F.
(1)求抛物线解析式;
(2)如图2,当点F恰好在抛物线上时(与点M重合)
①求点F的坐标;
②求线段OD的长;
③试探究在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在点D的运动过程中,连接CM,若△COD∽△CFM,请直接写出线段OD的长.
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【题目】定义符号min{a,b}的含义为:当a≥b时min{a,b}=b;当a<b时min{a,b}=a.如:min{1,﹣3}=﹣3,min{﹣4,﹣2}=﹣4.则min{﹣x2+1,﹣x}的最大值是( )
A. B. C. 1 D. 0
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【题目】抛物线经过点A(-4,0),B(2,0)且与轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段AC上一点,过点P作轴平行线,交抛物线于点D,当△ADC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴子F点,M、N分别是轴和线段EF上的动点,设M的坐标为(m,0),若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
图1 图2
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【题目】嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD,
AB=__①___.
求证:四边形ABCD是___②___四边形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
①;②.
(2)按嘉淇的想法写出证明.
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为
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