Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时P的坐标及面积的最大值；
（3）若G为抛物线上的一动点，F为x轴上的一动点，点D坐标为（1，4），点E坐标为（1，0），当D、E、F、G构成平行四边形时，请直接写出点G的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A，C点坐标代入函数解析式，得

，

解得 ，

抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（2）

解：作PE⊥x轴交AB于E点，如图1

，

当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得x1=﹣1（不符合题意，舍），x2=4，即B点坐标为（4，0），

AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得

y=﹣x+4．

设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），

PE=﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，

S△ABP= ABxB= （﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，

当m=2时，S△ABP有最大值，最大值是8，

m=2，﹣m2+3m+4=﹣4+6+4=6，即P点坐标为（2，6）；

（3）

解：如图2

，

由四边形DEFG是平行四边形，E，F在x轴上，得

GF=DE=4，

当y=4时，﹣x2+3x+4=4，解得x1=0，x2=3，即D点坐标为（0，4）或（3，4）．

当D、E、F、G构成平行四边形时，点G的坐标（0，4）或（3，4）．

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据平行四边形的性质，可得FG=4，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)，还要掌握二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)的相关知识才是答题的关键．