Question

观察下列各个等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．

（1）你能从中推导出计算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式吗？请写出你的推导过程；

（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：

已知：如图，抛物线y=﹣x²+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n﹣1，分别过这n﹣1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n﹣1，设△OBA₁、△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n﹣1B_n﹣1A的面积依次为S₁、S₂、S₃、S₄、…、Sn．

①当n=2013时，求s₁+s₂+s₃+s₄+…+s₂₀₁₃的值；

②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由n³﹣（n﹣1）³=3n²﹣3n+1公式的n的式子相加推导出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．

（2）①结合抛物线和（1）中推导出的公式求出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₃的值；

②当n取到无穷无尽时，取极值，求得三角形的面积．

【解答】解：（1）∵n³﹣（n﹣1）³=3n²﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n时，就可得下列n个等式：

1³﹣0³=3×1²﹣3×1+1，2³﹣1³=3×2²﹣3×2+1，3³﹣2³=3×3²﹣3×3+1…n³﹣（n﹣1）³=3n²﹣3n+1，

将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3（1²+2²+3²+…n²）﹣3（1+2+3+…+n）+n，

即1²+2²+3²+…n²==．

（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），∴点A₁（，0）A₂（，0）A₃（，0）A₄（，0）…A_n﹣1（，0），

点B₁（，﹣（）²+2（）+3），B₂（，﹣（）²+2（）+3）…B_n﹣1（，﹣[]²+2+3），

∴S₁=，S₂=，S₃=…S_n=

∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=

==．

∴①当n=2013时，S₁+S₂+S₃+S₄+…S₂₀₁₃=；

②∵S₁+S₂+S₃+…S_n==+﹣，

∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于．

【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用立方差公式推导是解题关键，（2）利用等分得出A点坐标，利用点在函数图象上得出B点坐标，利用推导公式求出面积的和，计算是解题关键．