Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=10，并求出此时P点的坐标；

（3）设（1）中的抛物线交y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P点的坐标为（-2，5）或（4，5）；（3）点Q的坐标为（1，-2）．

【解析】

（1）根据抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点得到关于b和c的二元一次方程组，解方程组求出b和c的值即可；

（2）设动点P的坐标为（m，m2-2m-3），根据面积公式求出m的值即可；

（3）设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为满足题意的Q点．

（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；

（2）设动点P的坐标为（m，m2-2m-3），

若足S△PAB=10，

则AB×|m2-2m-3|=10，

即2|m2-2m-3|=10，

解得m=4或m=-2；

当m=4时，m2-2m-3=5，

当m=-2时，m2-2m-3=5，

综上P点的坐标为（-2，5）或（4，5）；

（3）设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为满足题意的Q点；

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴抛物线对称轴为x=1，C′坐标为（2，-3），

设直线AC′的解析式为y=kx+b，

根据题意可得，

解得，

所以直线AC′的解析式为y=-x-1，

当x=1时，y=-2，

即点Q的坐标为（1，-2）．