Question

【题目】如图，在ABCD中，BC＝10，对角线AC⊥AB，点EF在BC、AD上，且BE＝DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当四边形AECF是菱形时，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5．

【解析】

（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再证明AF=EC，可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由菱形的性质得出AE=CE，得出∠EAC=∠ECA，由角的互余关系证出∠B=∠BAE，得出AE=BE，从而可得E为BC中点，即BE=BC．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵BE＝DF，

∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：如图，∵四边形AECF是菱形，

∴AE＝CE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠ECA＝90°，∠BAE＋∠EAC＝90°，

∴∠B＝∠BAE，

∴AE＝BE，

∴BE＝CE＝BC＝10＝5．