【题目】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的结论;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(请直接写出结果,不必写出理由)
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立
【解析】
(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.
(1)CG=EG.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCF=90°.在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG=FD,同理.在Rt△DEF中,EG=
FD,∴CG=EG.
(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG(SAS),∴AG=CG;
在△DMG与△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG(ASA),∴MG=NG.
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°,∴四边形AENM是矩形,在矩形AENM中,AM=EN.在△AMG与△ENG中,∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,∴△AMG≌△ENG(SAS),∴AG=EG,∴EG=CG.
证法二:延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC.在△DCG与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,∴△DCG≌△FMG,∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,∴MF∥CD∥AB,∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,∵MF=CB,∠MFE=∠EBC=90°,EF=BE,∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB,∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,∴EG=MC,∴EG=CG.
(3)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.
由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,∴△MEC是等腰直角三角形.
∵G为CM中点,∴EG=CG,EG⊥CG
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【题目】如图,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A,B,且OA,OB的长(OA>OB)是方程x2-10x+24=0的两个根,P(m,n)是第一象限内直线y=kx+b上的一个动点(点P不与点A,B重合).
(1)求直线AB的解析式.
(2)C是x轴上一点,且OC=2,求△ACP的面积S与m之间的函数关系式;
(3)在x轴上是否有在点Q,使以A,B,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙两名运动员进行长跑训练,两人距终点的路程y(米)与跑步时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答问题:
(1)他们在进行 米的长跑训练,在0<x<15的时段内,速度较快的人是 ;
(2)求甲距终点的路程y(米)和跑步时间x(分)之间的函数关系式;
(3)当x=15时,两人相距多少米?在15<x<20的时段内,求两人速度之差.
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【题目】已知射线是
的角平分线,
,点
是射线
上的点,连接
.
(1)如图1,当点在射线
上时,连接
,
.若
,则
的形状是_____.
(2)如图2,当点在射线
的反向延长线
上时,连接
,
.若
,则(1)中的结论是否成立?请说明理由.
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【题目】如图,有一种动画程序,在平面直角坐标系屏幕上,直角三角形是黑色区域(含直角三角形边界),其中A(1,1),B(2,1),C(1,3),用信号枪沿直线y=3x+b发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围是( )
A.﹣5≤b≤0B.﹣5<b≤﹣3C.﹣5≤b≤3D.﹣5≤b≤5
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【题目】如图①,在边长为4cm的正方形ABCD中,点P以每秒2cm的速度从点A出发,沿AB→BC的路径运动,到点C停止.过点P作PQ∥BD,PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时,PQ的长度是________cm.
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【题目】如图,点O是△ABC内一点,∠A=80°,BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,则∠BOC等于( )
A. 140° B. 120° C. 130° D. 无法确定
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【题目】已知抛物线(
是常数)的顶点为
,直线
求证:点
在直线
上;
当
时,抛物线与
轴交于
,
两点,与
轴交于点
,与直线
的另一个交点为
,
是
轴下方抛物线上的一点,
(如图),求点
的坐标;
若以抛物线和直线
的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的
的值.
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【题目】如图1,等边中,点
、
分别在
、
上,
,连
、
.
(1)求证:;
(2)如图2,延长至点
,使得
,连
,试判断
的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连,
.若
,则
______.
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