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【题目】已知:ABCD,平面内有一点E,连接AECE

1)如图1,求证:∠E=∠A+C

2)如图2CD上有一点F,连接AFEF,若∠FAE=∠FEA,∠EFD2C,求证:∠AFC2AEC

3)如图3,在(2)的条件下,平面内有一点G,连接AGCG,若∠GCE与∠GAE互为补角,5AFC2G,求∠G的度数.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠G的度数为150°

【解析】

1)过EEFAB,根据平行线的性质,即可得出∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,进而得到∠AEC=∠AEF+CEF=∠A+C

2)设∠BAEα,∠DCEβ,由(1)可得,∠AEC=∠BAE+Cα+β,根据角的和差关系可得,∠BAF=∠EAF+BAEα+2β+α2α+β),最后根据∠AFC=∠BAF2α+β),可得∠AFC2AEC

3)设∠Gα,根据5AFC2G,可得∠AFCα,再根据∠AFC2AEC,可得∠AECAFCα,最后根据四边形AECG中,∠GCE与∠GAE互为补角,可得∠G+AEC180°,据此可得方程α+α180°,求得∠G的度数为150°

1)如图,过EEFAB

ABCD

ABCDCD

∴∠A=∠AEF,∠C=∠CEF

∴∠AEC=∠AEF+CEF=∠A+C

2)设∠BAEα,∠DCEβ,则

由(1)可得,∠AEC=∠BAE+Cα+β

∵∠EFD2C,∠EFD=∠C+CEF

∴∠C=∠CEFβ

∴∠AEFα+2β

又∵∠FAE=∠FEA

∴∠FAEα+2β

∴∠BAF=∠EAF+BAEα+2β+α2α+β),

又∵ABCD

∴∠AFC=∠BAF2α+β),

∴∠AFC2AEC

3)设∠Gα

根据5AFC2G,可得∠AFCα

又∵∠AFC2AEC

∴∠AECAFCα

∵四边形AECG中,∠GCE与∠GAE互为补角,

∴∠G+AEC180°

α+α180°

α150°

即∠G的度数为150°

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3)应用三:如图,将一根拉直的细线看作数轴,一个三边长分别为的三角形的顶点与原点重合,边在数轴正半轴上,将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上,负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上.

①如果正半轴的线缠绕了3圈,负半轴的线缠绕了5圈,求绕在点上的所有数之和;

②如果正半轴的线不变,将负半轴的线拉长一倍,即原线上的点-2的位置对应着拉长后的数-1,并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕,求绕在点且绝对值不超过60的所有数之和.

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A. 174 B. 176 C. 178 D. 180

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