【题目】已知:AB∥CD,平面内有一点E,连接AE、CE
(1)如图1,求证:∠E=∠A+∠C;
(2)如图2,CD上有一点F,连接AF、EF,若∠FAE=∠FEA,∠EFD=2∠C,求证:∠AFC=2∠AEC;
(3)如图3,在(2)的条件下,平面内有一点G,连接AG、CG,若∠GCE与∠GAE互为补角,5∠AFC=2∠G,求∠G的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠G的度数为150°.
【解析】
(1)过E作EF∥AB,根据平行线的性质,即可得出∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,进而得到∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C;
(2)设∠BAE=α,∠DCE=β,由(1)可得,∠AEC=∠BAE+∠C=α+β,根据角的和差关系可得,∠BAF=∠EAF+∠BAE=α+2β+α=2(α+β),最后根据∠AFC=∠BAF=2(α+β),可得∠AFC=2∠AEC;
(3)设∠G=α,根据5∠AFC=2∠G,可得∠AFC=α,再根据∠AFC=2∠AEC,可得∠AEC=∠AFC=α,最后根据四边形AECG中,∠GCE与∠GAE互为补角,可得∠G+∠AEC=180°,据此可得方程α+α=180°,求得∠G的度数为150°.
(1)如图,过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥CD,
∴∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C;
(2)设∠BAE=α,∠DCE=β,则
由(1)可得,∠AEC=∠BAE+∠C=α+β,
∵∠EFD=2∠C,∠EFD=∠C+∠CEF,
∴∠C=∠CEF=β,
∴∠AEF=α+2β,
又∵∠FAE=∠FEA,
∴∠FAE=α+2β,
∴∠BAF=∠EAF+∠BAE=α+2β+α=2(α+β),
又∵AB∥CD,
∴∠AFC=∠BAF=2(α+β),
∴∠AFC=2∠AEC;
(3)设∠G=α,
根据5∠AFC=2∠G,可得∠AFC=α,
又∵∠AFC=2∠AEC,
∴∠AEC=∠AFC=α,
∵四边形AECG中,∠GCE与∠GAE互为补角,
∴∠G+∠AEC=180°,
即α+α=180°,
∴α=150°,
即∠G的度数为150°.
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【题目】矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=( )
A. 1 B. C. D.
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【题目】已知一个三角形纸片的两边长是5和6,第三边的长是方程x2﹣6x+5=0的一个根,若用此三角形纸片剪出一个圆,则剪出的圆的半径最大是_____.
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【题目】在学习了数轴后,小亮决定对数轴进行变化应用:
(1)应用一:已知点在数轴上表示为-2,数轴上任意一点表示的数为,则两点的距离可以表示为 ;应用这个知识,请写出当 时, 有最小值为 .
(2)应用二:从数轴上取下一个单位长度的线段,第一次剪掉原长的,第二次剪掉剩下的,依此类推,每次都剪掉剩下的,则剪掉4次后剩下线段长度为 ;应用这个原理,请计算:;
(3)应用三:如图,将一根拉直的细线看作数轴,一个三边长分别为,,的三角形的顶点与原点重合,边在数轴正半轴上,将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上,负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上.
①如果正半轴的线缠绕了3圈,负半轴的线缠绕了5圈,求绕在点上的所有数之和;
②如果正半轴的线不变,将负半轴的线拉长一倍,即原线上的点-2的位置对应着拉长后的数-1,并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕,求绕在点且绝对值不超过60的所有数之和.
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【题目】如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.5米,则梯子顶端A下落了( )米.
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
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【题目】如图,已知抛物线与轴交于点和点,交轴于点.过点作轴,交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线与线段、分别交于、两点,过点作轴于点,过点作轴于点,求矩形的最大面积;
(3)若直线将四边形分成左、右两个部分,面积分别为、,且,求的值.
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【题目】某水果零售商店分两批次从批发市场共购进“红富士”苹果100箱,已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元,且第二次比第一次多付款400元.
(1)求第一、二次分别购进“红富士”苹果各多少箱?
(2)商店对这100箱“红富士”苹果先按每箱60元销售了75箱后出现滞销,于是决定其余的每箱靠打折销售完.要使商店销售完全部“红富士”苹果所获得的利润不低于1300元,问其余的每箱至少应打几折销售?(注:按整箱出售,利润=销售总收人﹣进货总成本)
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【题目】如图,I点为△ABC的内心,D点在BC上,且ID⊥BC,若∠B=44°,∠C=56°,则∠AID的度数为何?( )
A. 174 B. 176 C. 178 D. 180
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