Question

【题目】已知：如图在菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=30°，点E是AD的中点，点M是的一个动点（不与点A重合），连接ME并廷长交CD的延长线于点N连接MD，AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM为何值时，四边形AMDN是矩形并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），四边形AMDN是矩形，见解析.

【解析】

（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；

（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，结合∠DAB=30°，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM．

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．

∵点E是AD中点，

∴DE=AE．

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（AAS）．

∴ND=MA．

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：当AM=2时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=2，

∵平行四边形AMDN是矩形，

∴∠AMD=90°．

∵∠DAB=30°，

∴MD=AD=AB=2．

在直角△AMD中，．