【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t的值．
若不能,请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长．
【答案】（1）D坐标为（t+1,
）；（2）当t=2时,△DPA的面积最大,最大值为1；（3）经过2秒或3秒时,△PAD是直角三角形；(4) 点D运动路线的长为
．
【解析】
试题分析：（1）设出P点坐标,再求出CP的中点坐标,根据相似的性质即可求出D点坐标；
（2）根据题意求出△DPA的面积,分析函数解析式求出最值；
（3）先判断出可能为直角的角,再根据勾股定理求解；
（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．
试题解析：（1）∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,而OC=2,
∴P（t,0）,
设CP的中点为F,则F点的坐标为（,1）,
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,其坐标为（t+1,）；
（2）S= 
∴当t=2时,S最大,最大值为1
（3）∵∠CPD=900,∴∠DPA+∠CPO=900,∴∠DPA≠900,故有以下两种情况：
①当∠PDA=900时,由勾股定理得
,
又
,
,
,
即
,解得
（不合题意,舍去）
②当∠PAD=900时,点D在BA上,故AE=3－t,得t=3
综上,经过2秒或3秒时,△PAD是直角三角形；
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=,
∴点D运动路线的长为．
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【题目】某校240名学生参加植树活动，要求每人植树4～7棵，活动结束后抽查了20名学生每人的植树量，并分为四类：A类4棵、B类5棵、C类6棵、D类7棵，将各类的人数绘制成如图所示不完整的条形统计图，回答下列问题：
（1）补全条形图；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数和中位数；
（3）估计这240名学生共植树多少棵？
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【题目】定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线
，点
，
在直线
上，点
，
在直线
上，若
，则四边形
是半对角四边形．
（1）如图1，已知
，
，
，若直线
，
之间的距离为
，则AB的长是____，CD的长是______；
（2）如图2，点
是矩形的边上一点，
，
．若四边形
为半对角四边形，求的长；
（3）如图3，以
的顶点为坐标原点，边
所在直线为
轴，对角线
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足
．
①求证：四边形是半对角四边形；
②当
，
时，将四边形向右平移
个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数
的图象上，求
的值．
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【题目】如图1，在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-1，0），AE=4
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC
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【题目】如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．
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【题目】某校学生会干部对校学生会倡导的“牵手特殊教育”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图(图中信息不完整).己知A、B两组捐款人数的比为1: 5.
请结合以上信息解答下列问题.
(1)a= ，本次调查样本的容量是 ;
(2)先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”
(3)根据统计情况，估计该校参加捐款的4500名学生有多少人捐款在20至40元之间.
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【题目】已知：如图在菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=30°，点E是AD的中点，点M是的一个动点（不与点A重合），连接ME并廷长交CD的延长线于点N连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM为何值时，四边形AMDN是矩形并说明理由．
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