【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=120°.将一直角三角形的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问:直线ON是否平分∠AOC?请说明理由;
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为 (直接写出结果);
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,OD为∠BOM平分线.请探究:∠MOD与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)12秒或48秒;(3)2∠MOD+∠NOC=150°,理由见解析.
【解析】
(1)如图2中,设ON的反向延长线为OD,根据余角的性质和对顶角的性质可证明∠COD=∠AOD;
(2)分两种情形分别构建方程即可解决问题;
(3)结论:∠AOM=∠NOC+30°.根据角的和差定义判断即可.
(1)解:直线ON平分∠AOC,设ON的反向延长线为OD,
∵OM平分∠BOC,
∴∠MOC=∠MOB,
又∵OM⊥ON,
∴∠MOD=∠MON=90°,
∴∠COD=∠BON,
又∵∠AOD=∠BON,
∴∠COD=∠AOD,
即直线ON平分∠AOC.
(2)解:由题意5t=60°或5t=240°,
解得t=12或48,
故答案为12秒或48秒.
(3)解:结论:∠AOM=∠NOC+30°.
理由:∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=60°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°,
即∠AOM=∠NOC+30°.
∵OD为∠BOM平分线,
∴∠BOM=2∠MOD,
∵∠AOM+∠BOM=180°,
∴∠AOM=180°-2∠MOD,
∴180°-2∠MOD=∠NOC+30°,
∴2∠MOD+∠NOC=150°.
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【题目】如图,折线ABCDE描述了一汽车在某一直路上行驶时汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)间的变量关系,则下列结论正确的是( )
A. 汽车共行驶了120千米
B. 汽车在行驶途中停留了2小时
C. 汽车在整个行驶过程中的平均速度为每小时24千米
D. 汽车自出发后3小时至5小时间行驶的速度为每小时60千米
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【题目】如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是1、4、25.则△ABC的面积是 .
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【题目】为方便市民出行,甲、乙两家公司推出专车服务,运价收费如下:设行驶路程时,用含
的代数式表示乙公司的运价.
行驶路程 | 收费标准 | |
甲 | 乙 | |
不超过 | 起步价6元 | 起步价7元 |
超过 | 每公里2.1元 | 每公里1.6元 |
超出 | 每公里2.2元 |
(1)当时,则费用表示为 元;当
时,则费用表示为 元.
(2)当行驶路程时,对于乘客来说,哪个专车更合算,为什么?
(3)当行驶路程时,对于乘客来说,哪个专车更合算,为什么?
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【题目】如图,数轴上A,B两点对应的有理数分别为10和15,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点Q同时从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当0<t<5时,用含t的式子填空:
BP=_______,AQ=_______;
(2)当t=2时,求PQ的值;
(3)当PQ=AB时,求t的值.
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【题目】如图,某日的钱塘江观潮信息如图:
按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(千米)与时间t(分钟)的函数关系用图3表示,其中:“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A(0,12),点B坐标为(m,0),曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c(b,c是常数)刻画.
(1)求m的值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)11:59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟后与潮头相遇?
(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为0.48千米/分,小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间?(潮水加速阶段速度v=v0+(t﹣30),v0是加速前的速度).
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【题目】商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度,现将A型冰箱打折出售,商场最少打几折消费者购买才合算?(按使用期为10年,每年365天,每度电0.40元计算)
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【题目】某工厂餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅,现在从甲、乙两商场了解到,同一型号的餐桌报价每张均为200元,餐椅报价每把均为50元,甲商场做活动,每购买一张餐桌赠送一把餐椅。乙商场的活动是所有桌椅均按报价的八五折销售。若该工厂计划购买餐椅 (
>12)把,则:
(1)当购买40把餐椅时,到哪家商场购买划算?
(2)用含的代数式表示到甲、乙两商场购买所需要的费用。
(3)当购买多少把餐椅时,到甲、乙两商场购买所需要的费用相同?
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【题目】(14分)定义:底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形.
如图,已知△ABC中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC交AC于A1.
(1)=AA1A C;
(2)探究:△ABC是否为黄金等腰三角形?请说明理由;(提示:此处不妨设AC=1)
(3)应用:已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An.(n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由)
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