Question

3．在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P、D分别在AB、OB上，
（1）如图1中，若PO=PD，∠OPD=45°，证明△BOP是等腰三角形．
（2）如图2中，若AB=10，点P在AB上移动，且满足PO=PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，请予以证明．

Answer 1

分析 （1）由PO=PD，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得∠POD=67.5°，∠OPB=67.5°，然后利用等角对等边可得出结论；
（2）过点O作OC⊥AB于C，首先利用等腰直角三角形的性质可以得到∠COB=∠B=45°，OC=5，然后证得∠POC=∠DPE，进而利用AAS证明△POC≌△DPE，再根据全等三角形的性质可得OC=PE．

解答 （1）证明：∵PO=PD，∠OPD=45°，
∴∠POD=∠PDO=$\frac{180°-∠OPD}{2}$=67.5°，
∵等腰直角三角形AOB中，AO⊥OB，
∴∠B=45°，
∴∠OPB=180°-∠POB-∠B=67.5°，
∴∠POD=∠OPB，
∴BP=BO，即△BOP是等腰三角形；
（2）解：PE的值不变，为PE=5，证明如下：
如图，过点O作OC⊥AB于C，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB=∠B=45°，点C为AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
又∵∠POD=∠COD+∠POC=45°+∠POC，∠PDO=∠B+∠DPE=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE，
在△POC和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCO=∠DEP=90°}\\{∠POC=∠DPE}\\{PO=DP}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC=PE=5，
∴PE的值不变，为5．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形等知识，解答（2）的关键是正确作出辅助线，并利用AAS证得△POC≌△DPE．