Question

如图，正六边形ABCDEF为⊙0的内接正六边形，连结AE．已知⊙0的半径为2cm．
（1）求∠AED的度数和弧AB的长．
（2）求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）根据六边形的内角和求出∠F的度数，从而得出∠AEF的度数，进而得出∠AED的度数，连接OA、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；
（2）求得三角形AOB的面积，再乘以6即可得出正六边形ABCDEF的面积，再求出圆的面积，求出面积之比即可．

解答：解：（1）∵ABCDEF为正六边形，
∴∠F=120°，∠AEF=30°，
∴∠AED=120°-30°=90°，
∴∠AOB=360°×

1

6

=60°，
弧AB的长为

60•π•2

180

=

2

3

πcm．
（2）过点O作OH⊥AB垂足为H，
∵∠AOH=30°，OA=2cm，
∴由勾股定理得OH=

3

cm，
S_△AOB=

1

2

AB•OH=

1

2

×2×

3

=

3

cm²，
∴正六边形ABCDEF的面积=6×S_△AOB=6

3

cm²，
⊙O的面积=π2²=4πcm²，
∴正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比=6

3

：4π=3

3

：2π．

点评：本题考查了正多边形和圆，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．此题综合性较强，难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．