Question

【题目】如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，点为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得矩形，如图1，点在点左边，当矩形的周长最大时，求的值，并求出此时的的面积；

（3）已知，点在抛物线上，连，直线，垂足为，若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x22x＋3（2）m＝2，S△AEM=（3）（，）或（，）．

【解析】

（1）根据抛物线y＝ax2＋2ax＋c，可得C（0，c），对称轴为x1，再根据OC＝OA，AB＝4，可得A（3，0），最后代入抛物线y＝ax2＋2ax＋3，得抛物线的解析式为y＝x22x＋3；

（2）根据点M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，m22m＋3），Q（2m，m22m＋3），再根据矩形PQNM的周长＝2（PM＋PQ）＝2（m＋2）2＋10，可得当m＝2时，矩形PQNM的周长有最大值10，M的坐标为（2，0），最后由直线AC为y＝x＋3，AM＝1，求得E（2，1），ME＝1，据此求得△AEM的面积；

（3）连接CB并延长，交直线HG与Q，根据已知条件证明BC＝BF＝BQ，再根据C（0，3），B（1，0），得出Q（2，3），根据H（0，1），求得QH的解析式为y＝x1，联立得到方程组，可解得点G的坐标．

（1）由抛物线y＝ax2＋2ax＋c，可得C（0，c），对称轴为x＝＝1，

∵OC＝OA，

∴A（c，0），B（2＋c，0），

∵AB＝4，

∴2＋c（c）＝4，

∴c＝3，

∴A（3，0），

代入抛物线y＝ax2＋2ax＋3，得

0＝9a6a＋3，

解得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝x22x＋3；

（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，

∴P（m，m22m＋3），

又∵对称轴为x＝1，PQ∥AB，

∴Q（2m，m22m＋3），

又∵QN⊥x轴，

∴矩形PQNM的周长

＝2（PM＋PQ）

＝2[（m22m＋3）＋（2mm）]

＝2（m24m＋1）

＝2（m＋2）2＋10，

∴当m＝2时，矩形PQNM的周长有最大值10，

此时，M（2，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b

把A（3，0），C（0，3）代入得

解得

∴直线AC为y＝x＋3，又AM＝1，

∴当x＝2时，y＝1，即E（2，1），ME＝1，

∴△AEM的面积＝×AM×ME＝×1×1＝；

（3）如图2，连接CB并延长，交直线HG与Q，

∵HG⊥CF，BC＝BF，

∴∠BFC＋∠BFQ＝∠BCF＋∠Q＝90，∠BFC＝∠BCF，

∴∠BFQ＝∠Q，

∴BC＝BF＝BQ，

∴C,Q关于B点对称

又∵C（0，3），B（1，0），

∴Q（2，3），

又∵H（0，1）

设QH的解析式为y=px+q，

把Q（2，3），H（0，1）代入得

解得

∴QH的解析式为y＝x1，

解方程组，可得或，

∴点G的坐标为（，）或（，）．