Question

【题目】如图．在中，，，， 动点从点出发以每秒3个单位的速度运动至点，过点作交射线于点．设点的运动时间为秒．

（1）线段长为 ．(用含的代数式表示)

（2）若与的面积比为1：4时， 求的值．

（3）设与重叠部分图形的周长为， 求与之间的函数关系式．

（4）当直线把分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）5t；（2）t=1；（3）当时，；当时， ；（4）或t=2

【解析】

（1）先在Rt△ABC中求出tanA，再在Rt△ADE中求出DE，最后利用勾股定理求出AE；

（2）先判断出△ABC∽△AED，再根据面积比得出相似比，进而列式计算即可；

（3）由（1）（2）得：AD＝3t，DE＝4t，AE＝5t，BD＝103t，△ABC∽△AED，然后分情况讨论：当0＜t≤时；当时；分别利用相似三角形的性质求出重叠部分图形的边长，然后计算周长；

（4）分两种情况：当E在线段AC上，DE＝CE时，四边形BCED是轴对称图形；当DE和BC相交于F，AD＝AC时，四边形ACFD是轴对称图形；分别用相等的线段建立方程求解即可．

解：（1）由题意得，AD＝3t，

在Rt△ABC中，，

在Rt△ADE中，，

∴DE＝4t，

根据勾股定理得，AE＝5t，

故答案为：5t；

（2）∵ED⊥AB，∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ADE＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵与的面积比为1：4，

∴，即，

∴t＝1；

（3）由（1）（2）得：AD＝3t，DE＝4t，AE＝5t，△ABC∽△AED，

∵，

∴BD＝103t，

当E、C重合时，即5t＝6，

解得：，

∴当0＜t≤时，L＝3t＋4t＋5t＝12t；

当D、B重合时，即3t＝10，

解得：，

∴当时，如图，

∵∠B＝∠B，∠BDF＝∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴，即，

∴DF＝，

∵∠BFD＝∠EFC，∠BDF＝∠ECF，

∴∠B＝∠E，

∵∠FCE＝∠BCA，

∴△BCA∽△ECF，

∴，即，

∴CF＝，

∴，

综上：当时，；当时，；

（4）当E在线段AC上，DE＝CE时，四边形BCED是轴对称图形，

由（1）知，AE＝5t，DE＝4t，

∴CE＝65t，

∴4t＝65t，

解得：，

当DE和BC相交于F，AD＝AC时，四边形ACFD是轴对称图形，

∵AD＝3t，AC＝6，

∴3t＝6，

解得：t＝2，

故t的值为或2．