Question

14．已知：如图，△ABC，BD=CD，AD平分∠BAC，求证：∠BAC+∠BDC=180°．

Answer 1

分析 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，根据角平分线的性质得到DM=DN，推出Rt△BDM≌Rt△CDN，于是得到∠BDM=∠CDN，根据四边形的内角和得到∠BAC+∠MDN=180°，等量代换即可得到结论．

解答 证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
在Rt△BDM与Rt△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN，
∵∠AMD+∠AND=180°，
∴∠BAC+∠MDN=180°，
∴∠BDC+∠BAC=180°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．