Question

如图，二次函数的图像过点，与轴交于点.

（1）证明：（其中是原点）；
（2）在抛物线的对称轴上求一点，使的值最小；
（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点 . 请问
是否存在这样的点，使.  若存在，
请求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1），得
（2）P的坐标为（1，1） （3）存在；，

试题分析：（1）二次函数的图像过点，则
，所以二次函数的解析式为；与轴交于点.令x=0，得y=2,所以点C的坐标（0，2）；在直角三角形AOC中AO=4，CO=2；过B点做与X轴的垂线，垂足为M；在直角三角形ABM中AM=AO+OM=8，BM=4；所以，所以，因此
（2）抛物线的对称轴x=;在抛物线的对称轴上求一点，要使的值最小，则让三点在一条直线上
C点关于对称轴对称的点为，设B的解析式为y="kx+b," ,所以B的解析式为y=x;P点为BC^/与的交点；
令x=1，得y=1;所以        P的坐标为（1，1）
（3）AB：，设，
则，，
当，，（舍去），所以
当，，（舍去），所以
点评：本题考查二次函数，要求考生熟悉二次函数的概念和性质，会用待定系数法求函数的解析式，会求函数与坐标轴的交点坐标