Question

8．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆半径的$\sqrt{2}$倍，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（　　）

• A． 大于60°
• B． 小于60°
• C． 大于45°
• D． 小于45°

Answer 1

分析 连接OA，OB，AB及BC，由AB等于圆半径的$\sqrt{2}$倍，得到三角形AOB为直角三角形，根据直角三角形的性质可得∠AOB=90°，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出∠ACB的度数，再由∠ACB为△SCB的外角，根据三角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得∠ASB小于∠ACB，即可得到正确的选项．

解答 解：连接OA，OB，AB，BC，如图所示：
∵AO=BO，AB=$\sqrt{2}$AO，
∴△AOB为直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为$\widehat{AB}$，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
又∠ACB为△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜45°．
故选D．

点评 此题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解本题的关键．