Question

19．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求y=-x²+3x-2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y=-x²+3x-2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-3，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；
（3）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）根据“旋转函数”的定义，结合二次函数的解析式，即能求得已知函数的“旋转函数”；
（2）根据函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”，结合互为“旋转函数”的定义，能求出m、n，将m、n的值代入（m+n）²⁰¹⁵中，本题得解；
（3）先根据函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求出A、B、C的坐标，再根据点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，求出点A₁，B₁，C₁的坐标，找出过点A₁，B₁，C₁的二次函数的解析式，与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）比对，即可证得结论．

解答 解：（1）由y=-x²+3x-2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-3，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=3，
即函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”为y=x²+3x+2．
（2）∵函数y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x²-2nx+n互为“旋转函数”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}m=-2n}\\{-2+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴（m+n）²⁰¹⁵=（-3+2）²⁰¹⁵=-1．
（3）证明：∵函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
设经过C₁的二次函数解析式为y=a（x-1）（x+4），
将C₁（0，-2）代入得-2=-4a，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴a₁+a₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，b₁=b₂=$\frac{3}{2}$，c₁+c₂=2+（-2）=0，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是抓住互为“旋转函数”的定义，利用函数各多项式前面的系数解决问题．