Question

7．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，
（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD 所在直线的解析式；
（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．
①求折痕AF所在直线的解析式；
②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线$y=-\frac{1}{12}{x^2}+h$过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．
（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．

Answer 1

分析 （1）根据折叠可知四边形ODEC是正方形，由此可得知C、D点坐标，设出直线解析式，代入两点坐标即可求得；
（2）借用直角△ABG和△FCG，可以求出OF、CG的长度，由此可得折痕AF所在直线的解析式，由CG的长得知G点坐标，设出H点坐标，由H在直线和抛物线上可求出抛物线的解析式，再将直线解析式代入抛物线解析式中，由根的判别式△=0可得知仅有一个交点；
（3）结合（2）得出猜想，再到图甲中找到特殊情况下，各点所对应的点，代入即可得以验证．

解答 解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形，
∴OD=OC=6，
∴D（6，0），C（0，6），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{0=6k+b}\\{6=0+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-x+6．
（2）①在直角△ABG中，因AG=AO=10，
故BG=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，∴CG=2，
设OF=m，则FG=m，CF=6-m，
在直角△CFG中，m²=（6-m）²+2²，解得m=$\frac{10}{3}$，
则F（0，$\frac{10}{3}$），
设直线AF为y=k′x+$\frac{10}{3}$，将A（10，0）代入，得k′=-$\frac{1}{3}$，
∴AF所在直线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$．
②∵GH∥AB，且G（2，6），可设H（2，y_F），
由于H在直线AF上，
∴把H（2，y_F）代入直线AF：y_F=-$\frac{1}{3}$×2+$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴H（2，$\frac{8}{3}$），
又∵H在抛物线上，$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{12}$×2²+h，解得h=3，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{12}$x²+3，
将直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{10}{3}$，代入到抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+3，
得-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$=0，
∵△=${（\frac{1}{3}）}^{2}$-4×（-$\frac{1}{12}$）×（-$\frac{1}{3}$）=0，
∴直线AF与抛物线只有一个公共点．
（3）可以猜想以下两个结论：
①折痕IJ所在直线与抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+3只有一个公共点；
②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+3上．
验证①，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D，
将折痕CD：y=-x+6代入y=-$\frac{1}{12}$x²+3中，得-$\frac{1}{12}$x²+x-3=0，
∵△=1-4×（-$\frac{1}{12}$）×（-3）=0，
∴折痕CD所在的直线与抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+3只有一个公共点．
验证②，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），
当x=6时，y=-$\frac{1}{12}$×6²+3=0，
∴点L在这条抛物线上．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是利用折叠的特性，找出等量关系．