Question

13．如图，AC是⊙O的直径，AC=10，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）若E是BD中点，求AD²+BC²的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理求出∠A=∠B，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，根据垂径定理得到AC⊥BD，BE=DE，由射影定理得到DE²=BE²=AE．CE，∠AEC=∠BEC=90°，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵弧CD=弧CD，
∴∠A=∠B，
 又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；

（2）连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵E是BD中点，AC是⊙的直径
∴AC⊥BD，BE=DE，
∴DE²=BE²=AE．CE，∠AEC=∠BEC=90°，
∴AD²+BC²=DE²+AE²+CE²+BE²=2DE²+AE²+CE²=AE²+CE²+2AE．CE=（AE+CE）²=100．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定，垂径定理，完全平方公式，射影定理，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．