如图.在△ABC中.∠C=90°.AC=6cm.BC=8cm.D.E分别是AC.AB的中点.连接DE．点P从点D出发.沿DE方向匀速运动.速度为1cm/s,同时.点Q从点B出发.沿BA方向匀速运动.速度为2cm/s.当点P停止运动时.点Q也停止运动．连接PQ.设运动时间为ts．解答下列问题:(1)当t为何值时.以点E.P.Q为顶点的三角形与△ADE相似?(2)当t为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；
（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S_△PQE～S_{五边形PQBCD}=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

分析（1）如图①所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；
（2）分三种情形讨论，如图3中，当点Q在线段BE上时，EP=EQ；如图4中，当点Q在线段AE上时，EQ=EP；如图5中，当点Q在线段AE上时，EQ=QP；如图6中，当点Q在线段AE上时，PQ=EP．分别列出方程即可解决问题．
（3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29，则此时S_△PQE=$\frac{1}{30}$S_梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到PQ的距离h利用△PQE的面积公式得到．

解答解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=$\frac{1}{2}$BC=4，
①PQ⊥AB时，
∵∠PQB=∠ADE=90°，∠AED=∠PEQ，
∴△PQE∽△ADE，

$\frac{PE}{AE}$=$\frac{QE}{DE}$，由题意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即 $\frac{4-t}{5}$=$\frac{2t-5}{4}$，
解得t=$\frac{41}{14}$；
②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，

∴$\frac{PE}{ED}$=$\frac{QE}{AE}$，
∴$\frac{4-t}{4}$=$\frac{2t-5}{5}$，
∴t=$\frac{40}{13}$，
∴当t为$\frac{41}{14}$s或$\frac{40}{13}$s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．

（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP=EQ，可得4-t=5-2t，t=1．
如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ=EP，可得4-t=2t-5，解得t=3．
如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ=QP，可得 $\frac{1}{2}$（4-t）：（2t-5）=4：5，解得t=$\frac{20}{7}$．
如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ=EP，可得 $\frac{1}{2}$（2t-5）：（4-t）=4：5，解得t=$\frac{19}{6}$．
综上所述，t=1或3或 $\frac{20}{7}$或 $\frac{19}{6}$秒时，△PQE是等腰三角形．

（3）假设存在时刻t，使S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29，
则此时S_△PQE=$\frac{1}{30}$S_梯形DCBE，
∴$\frac{3}{5}$t²-$\frac{39}{10}$t+6=$\frac{1}{30}$×18，
即2t²-13t+18=0，
解得t₁=2，t₂=$\frac{9}{2}$（舍去）．
当t=2时，
PM=$\frac{3}{5}$×（4-2）=$\frac{6}{5}$，ME=$\frac{4}{5}$×（4-2）=$\frac{8}{5}$，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=$\frac{8}{5}$+1=$\frac{13}{5}$，
∴PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+M{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{13}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{205}}{5}$．
∵$\frac{1}{2}$PQ•h=$\frac{3}{5}$，
∴h=$\frac{6}{5}$•$\frac{5}{\sqrt{205}}$=$\frac{6\sqrt{205}}{205}$．
∴此时t的值为2s，h=$\frac{6\sqrt{205}}{205}$．

点评本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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