Question

16．如图，抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式和B点的坐标．
（2）M是x轴上一点，且△MAB是以AB为腰的等腰三角形，试求M点坐标．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x-2）²+1，再把A点坐标代入可求出a的值，从而得到抛物线解析式；然后计算自变量为0时的函数值可得到B点坐标；
（2）先利用勾股定理计算出AB=$\sqrt{10}$，讨论：以点A点圆心，AB为半径画弧交x轴于M′和M″或以点B点圆心，BA为半径画弧交x轴于M，然后分别写出M′、M″和M点的坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）²+1，
把A（1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x-2）²+1；
当x=0时，y=-（x-2）²+1=-3，
所以 B（0，-3）；
（2）AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
以点A点圆心，AB为半径画弧交x轴于M′和M″，则M′（1+$\sqrt{10}$，0），M″（1-$\sqrt{10}$，0），
以点B点圆心，BA为半径画弧交x轴于M，则M（-1，0），
综上所述，M点的坐标为（1+$\sqrt{10}$，0）或（1-$\sqrt{10}$，0）或（-1，0）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了等腰三角形的性质．