Question

13．如图，直线y=x+b（b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，点C（1，0），过点C作垂直于x轴的直线l，在直线l上取一点P，满足PA=PB，点A关于直线l的对称点为点D，以D为圆心，DP为半径作⊙D．
（1）直接写出点A、D的坐标；（用含b的式子表示）
（2）求点P的坐标；
（3）试说明：直线BP与⊙D相切．

Answer 1

分析 （1）根据x轴上点的纵坐标为0可求出点A的坐标，然后根据对称性可求出点D的坐标；
（2）易证直线OP是线段AB的垂直平分线，从而可得直线OP的解析式，再由点P的横坐标为1就可求出点P的坐标；
（3）要证直线BP与⊙D相切，只需证∠DPB=90°，只需证DP²+BP²=DB²，或证A、B、D三点共圆．

解答 解：（1）∵点A是直线y=x+b与x轴的交点，
∴A（-b，0），
∵点C与点D关于直线l对称，
∴AC=DC，
∴x_D-1=1-（-b），
∴x_D=b+2，
∴D（b+2，0）；

（2）∵A（-b，0），B（0，b），
∴OA=OB．
又∵PA=PB，
∴点O、P在线段AB的垂直平分线上，即直线OP垂直平分线段AB．
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴直线OP是二、四象限的角平分线，即直线OP的解析式为y=-x．
又∵直线l过点（1，0），且直线l⊥x轴，
∴P（1，-1）；

（3）法一：根据勾股定理可得：
DB²=（b+2）²+b²，DP²=（b+2-1）²+1，BP²=（b+1）²+1，
∴DP²+BP²=DB²，
∴∠BPD=90°．
又∵DP是⊙D的半径，
∴直线BP与⊙D相切．
法二：∵PA=PB=PD，
∴点A、B、D在以点P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠DPB=2∠BAD=2×45°=90°．
又∵DP是⊙D的半径，
∴直线BP与⊙D相切．

点评 本题主要考查了直线上点的坐标特征、轴对称性、勾股定理及其逆定理、圆的切线的判定、圆周角定理、垂直平分线的判定等知识，证到直线OP是二、四象限的角平分线是解决第（2）小题的关键．