Question

【题目】如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，

∴DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC，

∴DG∥EF，DG=EF，

∴四边形DEFG是平行四边形

（2）解：过点O作OM⊥BC于M，

Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4

∴OM= OC=2，

∴CM=2 ，

Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，

∴BM=OM=2，

∴BC=2+2 ，

∴EF=1+ ．

【解析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC，从而得到DG∥EF，DG=EF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）过点O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果．
【考点精析】关于本题考查的三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，需要了解连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能得出正确答案．