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【题目】在正方形ABCD中,BD为对角线,点P从A出发,沿射线AB运动,连接PD,过点D作DEPD,交直线BC于点E.

(1)当点P在线段AB上时(如图1),求证:BP+CE=BD;

(2)当点P在线段AB的延长线上时(如图2),猜想线段BP、CE、BD之间满足的关系式,并加以证明;

(3)若直线PE分别交直线BD、CD于点M、N,PM=3,EN=4,求PD的长.

【答案】1)证明见解析(2CE﹣BP=BD,理由见解析(33或6

【解析】

试题分析:(1)根据已知和图形证明PAD≌△ECD,得到AP=CE,根据AB=BD,得到答案;

(2)与(1)的方法类似,求出结论;

(3)分P在线段AB上和P在AB延长线上两种情况进行讨论,根据三角形全等和勾股定理证明结论.

证明:(1)四边形ABCD是正方形,

∴∠A=ADC=BCD=DCE=90°,AD=CD,

DEPD

∴∠ADC=PDE=90°

∴∠ADP=90°PDC=CDE

∴△PADECD

AP=CE

BP+CE=BP+AP=AB=BD;

(2)CE﹣BP=BD;

理由:PAD≌△ECD

CE=AP

CE﹣BP=AP﹣BP=AB=BD;

(3)①当P在线段AB上时,

如图1所示,在BC上取一点G使得BG=BP,连接MG、NG,

∵△APD≌△CED

AP=CE,PD=ED,

∴△PED是等腰直角三角形,

AB=BC=AP+BP=BG+CG

CG=CE

可证NCG≌△NCE

NG=NENGC=NEC

∵∠PBM=GBM=45°,BP=BG,BM=BM,

∴△BPM≌△BGM

PM=GMMGB=MPB

NEC+MPB=90°

∴∠NGC+MGB=90°

∴∠MGN=90°

MN==5,

PE=PM+MN+EN=3+5+4=12

PD=PE=6

②当P在AB延长线上时,

如图2所示,延长CB至G,使得CG=CE,连接MG、NG,

AP=CE

CE﹣BC=CG﹣BC=AP﹣AB=BP=BG,

同①可证△△BMG≌△BMPCNG≌△CNE

PM=GM,GN=EN,BGM=BPM=90°+CEN=90°+CGN

∴∠CGN=BGM﹣90°=BGMMGN

∴∠MGN=90°

MN==5,

PN=MN﹣PM=5﹣3=2,

PE=PN+EN=2+4=6

PD=PE=3

PD的长为3或6

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