【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,以AB为直径的⊙O交AC边于点DD,点E在BC上,连结BD,DE,∠CDE=∠ABD
(1)证明:DE是⊙O的切线;
(2)若BD=24,sin∠CDE=,求圆⊙O的半径和AC的长.
【答案】(1)见解析;(2)13,
【解析】
(1)连结OD ,如图,根据圆周角定理,由AB为⊙O的直径得∠ADO+∠ODB=90°,再由OB = OD得∠OBD=∠ODB,则∠ADO+∠ABD=90°,由于∠CDE=∠ABD,所以∠ADO+∠CDE =90°,然后根据平角的定义得∠ODE=90°,于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线;
(2)设=
,则
=
,根据勾股定理得到
,求得圆
的半径为13;连结
,如图,根据等腰三角形的性质得到CO⊥AB,根据三角函数的定义即可得到结论.
证明:连结,如图,
∵为
的直径,
∴,即
∵=
,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是
的切线;
∵
∴
在 中,
设=
,则
=
,
∴,
∴=
,解得
=
,
∴=
,
∴圆的半径为
;
连结,如图,
∵=
,
=
,
∴
∴
在 中,∵
∴
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【题目】如图所示,为了改造小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙的最大可使用长度12m)的空地上建造一个矩形绿化带.除靠墙一边(AD)外,用长为32m的栅栏围成矩形ABCD.设绿化带宽AB为xm,面积为Sm2,
(1)求S与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(2)绿化带的面积能达到128m2吗?若能,请求出AB的长度;若不能,请说明理由;
(3)当x为何值时,满足条件的绿化带面积最大.
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【题目】已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA、EC.
(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;
(2)若点P在线段AB上,如图2,当点P为AB的中点时,判断△ACE的形状,并说明理由;
(3)在(1)的条件下,将正方形ABCD固定,正方形BPEF绕点B旋转一周,设AB=4,BP=a,若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4,请直接写出a的值.
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【题目】二次函数的图象交x轴于A(-1, 0),B(4, 0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC.设运动的时间为t秒.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BD,当时,求△DNB的面积;
(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,直接写出此时点D的坐标.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,FO⊥AB,垂足为点O,连接AF并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,∠B=30°,FO=2.
(1)求AC的长度;
(2)求图中阴影部分的面积.(计算结果保留根号)
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【题目】如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.写出点M′的坐标.
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【题目】如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF.
(1)求证:DE=CF;
(2)求EF的长.
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【题目】如图,△ABC中,点E在BC边上.AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF =BC;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
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