【题目】如图,△ABC中,点E在BC边上.AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF =BC;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
【答案】(1)详见解析;(2)78°.
【解析】
(1)由旋转的性质可得AC=AF,利用SAS证明△ABC≌△AEF,根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC;
(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE=180°-65°×2=50°,那么∠FAG=50°.由△ABC≌△AEF,得出∠F=∠C=28°,再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=78°.
(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,
∴∠BAC=∠EAF.
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置,
∴AC=AF.
在△ABC与△AEF中,
,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴EF=BC;
(2)解:∵AB=AE,∠ABC=65°,
∴∠BAE=180°-65°×2=50°,
∴∠FAG=∠BAE=50°.
∵△ABC≌△AEF,
∴∠F=∠C=28°,
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°.
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【题目】重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫,每件成本价为20元,每天销售150件:
(1)若要每天的利润不低于2250元,则销售单价至少为多少元?
(2)为了回馈广大游客,同时也为了提高这种文化衫的认知度,商店决定在“五一”节当天开展促销活动,若销售单价在(1)中的最低销售价的基础上再降低m%,则日销售量可以在150件基础上增加m件,结果当天的销售额达到5670元;要使销售量尽可能大,求出m的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P是BC中点,点E、F是边CD上的任意两点,且EF=2,当四边形APEF的周长最小时,则DF的长为( )
A. 2 B. 4 C. D.
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【题目】如图,在△BDE中,∠BDE=90°,BD=4,点D的坐标是(5,0),∠BDO=15°,将△BDE旋转到△ABC的位置,点C在BD 上,则旋转中心的坐标为_______ .
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【题目】△ABC中,∠A=36°,将△ABC绕平面中的某一点D按顺时针方向旋转一定角度得到△ .
(1)若旋转后的图形如图所示,请在图中用尺规作出点D,请保留作图痕迹,不要求写作法;
(2)若将△ABC按顺时针方向旋转到△ 的旋转角度为(0°<<180°),且AC⊥ ,直接写出旋转角度的值为_____.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.
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【题目】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8cm2?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半?
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【题目】一个口袋中有3个大小相同的小球,球面上分别写有数字1、2、3.从袋中随机地摸出一个小球,记录下数字后放回,再随机地摸出一个小球.
(1)请用树形图或列表法中的一种,列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果;
(2)求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率.
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