Question

15．在平面直角坐标系中，点O₁的坐标为（-4，0），以点O₁为圆心8为半径的圆与x轴交于A，B两点．过点A作直线L与x轴负方向成60°的角，且交y轴于点C．
（1）求直线L的解析式；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）设抛物线顶点为P经过点P作圆的两条切线，切点E，F，为求四边形O₁EPF的面积．

Answer 1

分析 （1）求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案；
（3）根据题意作出PE，PF，进而利用勾股定理得出PF的长，即可得出四边形O₁EPF的面积．

解答 解：（1）由题意得OA=|-4|+|8|=12，
∴A点坐标为（-12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12$\sqrt{3}$．
∴C点的坐标为（0，-12$\sqrt{3}$）．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由l过A、C两点，得$\left\{\begin{array}{l}{-12k+b=0}\\{b=-12\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-12\sqrt{3}}\\{k=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
故直线l的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x-12$\sqrt{3}$；

（2）由题意可得；B（4，0），则y=a（x-4）（x+12），
故-12$\sqrt{3}$=-48a，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故抛物线解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-4）（x+12）；

（3）如图所示：过点P作⊙O的切线PF，PE，连接PO₁，EO₁，FO₁，
由题意可得；当x=-4时，y有最小值为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$（-4-4）（-4+12）=-16$\sqrt{3}$，
故PO₁=16$\sqrt{3}$，FO₁=8，
则PF=$\sqrt{（16\sqrt{3}）^{2}-{8}^{2}}$=8$\sqrt{11}$，
故${S}_{四边形{O}_{1}EPF}$=2${S}_{△{O}_{1}PF}$=8×8$\sqrt{11}$=64$\sqrt{11}$．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数以及二次函数解析式和圆的切线的性质和勾股定理等知识，根据题意得出PF的长是解题关键．