Question

4．两游艇自某地同时出发，一艇以10千米/小时的速度向正北航行，另一艇以7千米/小时的速度向北偏东45度方向行驶，问：经过40分钟，两艇相距多远？

Answer 1

分析 首先画出示意图，由题意可得，OA=10×$\frac{40}{60}$=$\frac{20}{3}$千米，OB=7×$\frac{40}{60}$=$\frac{14}{3}$千米，∠AOB=45°．作AC⊥OB于C．由∠AOC=45°，∠ACO=90°，得出△AOC是等腰直角三角形，那么AC=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$千米，于是BC=OC-OB=$\frac{10\sqrt{2}-14}{3}$千米，再根据勾股定理即可求出AB．

解答 解：如图，经过40分钟，两游艇分别到达A、B两点．
由题意可得，OA=10×$\frac{40}{60}$=$\frac{20}{3}$千米，OB=7×$\frac{40}{60}$=$\frac{14}{3}$千米，∠AOB=45°．
作AC⊥OB于C．
∵∠AOC=45°，∠ACO=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{20}{3}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$千米，
∴BC=OC-OB=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$-$\frac{14}{3}$=$\frac{10\sqrt{2}-14}{3}$千米，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{10\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{10\sqrt{2}-14}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{596-280\sqrt{2}}}{3}$千米．
答：经过40分钟，两艇相距$\frac{\sqrt{596-280\sqrt{2}}}{3}$千米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据方向角的定义准确画出图形作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．