Question

12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长．

Answer 1

分析 分类讨论：当∠B′EC=90°时，如图，根据折叠性质得∠BEA=∠B′EA=45°，则BE=AB=3；当∠EB′C=90°时，如图，先利用勾股定理计算出AC=5，再根据折叠性质得∠B=∠AB′E=90°，EB=EB′，AB′=AB=3，于是可判断点A、B′、C共线，且CB′=AC-AB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中根据勾股定理得到x²+2²=（4-x）²，解得x=$\frac{3}{2}$，即BE=$\frac{3}{2}$；∠ECB′不可能为90°．

解答 解：当∠B′EC=90°时，
如图，

∴∠BEB′=90°，
∵矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠BEA=∠B′EA=45°，
∴BE=AB=3；
当∠EB′C=90°时，
如图，

在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠B=∠AB′E=90°，EB=EB′，AB′=AB=3，
∴点A、B′、C共线，即点B′在AC上，CB′=AC-AB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，∵EB′²+CB′²=CE²，
∴x²+2²=（4-x）²，解得x=$\frac{3}{2}$，
即BE=$\frac{3}{2}$，
综上所述，BE的长为3或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．